mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 26, 2020 12:11 pm**

Δίνεται ο ακέραιος

$\displaystyle{\rm a=\frac{605^5-1}{604}.}$

Να γραφεί ως γινόμενο δύο ακέραιων $\displaystyle{m,n>300.000.}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2020 1:57 am**

Γεια σου Θάνο!
Αν P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1

τότε αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το P(605).

Παρατηρούμε ότι αν a=605

τότε $a=5\cdot 11^2$ οπότε 5a=55^2.

Το

γράφεται

Τώρα το

είναι διαφορά τετραγώνων.
$P(a)=(a^2+3a+1)^2-55^2(a+1)^2=(a^2-52a-54)(a^2+58a+56)=334511\cdot 401171$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2020 12:57 pm**

Ένα πρόβλημα με ακριβώς την ίδια ιδέα ήταν από την IMO Shortlist του 1992. Ζητούσε να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ είναι σύνθετος.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2020 2:51 pm**

Ακριβώς! Εξ ου και η έμπνευση.

mathematica.gr

Quickie!

Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!

Re: Quickie!