mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm**

: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 2668 φορές

$\bigstar$ Τα ζητούμενα της παρακάτω άσκησης είναι βασικά για ένα εγγεγραμμένο οξυγώνιο μη ισοσκελές τρίγωνο .

Το

είναι το σημείο τομής των υψών BD , CE

, δηλαδή είναι το ορθόκεντρο του ABC

και

το τμήμα

το απόστημα της πλευράς - χορδής

.

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο ADE

είναι όμοιο με το ABC

.

β) Δείξτε ότι AH=2OM

.

γ) Δείξτε ότι $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ .

δ) Δείξτε ότι $AO\perp DE$ .

ε) Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο BHCS

. Δείξτε ότι το

είναι σημείο του περικύκλου .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 08, 2020 7:54 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου.png $\bigstar$ Τα ζητούμενα της παρακάτω άσκησης είναι βασικά για ένα εγγεγραμμένο οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο .

Το είναι το σημείο τομής των υψών , δηλαδή είναι το ορθόκεντρο του και

το τμήμα το απόστημα της πλευράς - χορδής .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με το .

β) Δείξτε ότι .

γ) Δείξτε ότι $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$ .

δ) Δείξτε ότι $AO\perp DE$ .

ε) Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι το είναι σημείο του περικύκλου .

: Εγγ. τρίγωνο.png (27.47 KiB) Προβλήθηκε 2559 φορές

α) Το

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle \widehat B = \omega ,\widehat C = \varphi ,$ άρα τα τρίγωνα ADE, ABC

είναι όμοια.

β) Φέρνω τη διάμετρο BOP.

Προφανώς το AHCP

είναι παραλληλόγραμμο, άρα $\displaystyle AH = PC = 2OM.$

γ) $B\widehat AH=O\widehat AC$ ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών $\displaystyle \widehat B,\omega.$

δ) $\widehat B = \omega, B\widehat AH=O\widehat AC,$ άρα οι $\displaystyle O\widehat AC,\omega$ είναι συμπληρωματικές και $AO\perp DE.$

ε) $\displaystyle B\widehat SC = B\widehat HC = 180^\circ - \widehat A,$ οπότε το ABSC

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 08, 2020 11:10 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm
δ) Δείξτε ότι $AO\perp DE$ .

Ας συμπληρώσω για χάρη των μαθητών μας ότι η ιδιότητα αυτή ονομάζεται "Θεώρρημα Nagel". Τα παλιά τα χρόνια το μάθαιναν όλοι οι υποψήφιοι στις Φυσικομαθηματικές και στις Πολυτεχνικές Σχολές. Ένας γρήγορος τρόπος απόδειξης είναι να φέρουμε την εφαπτομένη του περίκυκλου στο

και να δείξουμε ότι είναι παράλληλη της

. Είναι σχετικά απλό με χρήση χορδής και εφαπτομένης στο άκρο της.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 09, 2020 11:54 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μάιος 08, 2020 11:10 pm
KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 28, 2020 8:39 pm
δ) Δείξτε ότι $AO\perp DE$ .
Ας συμπληρώσω για χάρη των μαθητών μας ότι η ιδιότητα αυτή ονομάζεται "Θεώρρημα Nagel". Τα παλιά τα χρόνια το μάθαιναν όλοι οι υποψήφιοι στις Φυσικομαθηματικές και στις Πολυτεχνικές Σχολές.

Προς επιβεβαίωση της παραπάνω δήλωσης του Μιχάλη Λάμπρου , σας παραπέμπω σε μια δημοσίευση , όπου σε ένα κακοδιατυπωμένο θέμα εισαγωγικών εξετάσεων του Ε.Μ.Π. του 1939 , υπάρχει λύση (και) με χρήση του Θεωρήματος Nagel.
viewtopic.php?f=22&t=59617&p=288771&hil ... A3#p288771

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 10, 2020 11:13 am**

Να προσθέσω άλλες δύο ιδιότητες.

Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.

Ένα σημείο βρίσκεται στον περιγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου, αν και μόνο αν οι προβολές του πάνω στις πλευρές του τριγώνου είναι σημεία συνευθειακά (ευθεία $\displaystyle {\rm{Simson}}.$ )

mathematica.gr

Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου

Re: Βασικές ιδιότητες του εγγεγραμμένου τριγώνου