mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 05, 2020 12:23 am**

Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση $f(x)=x^3+x^5+x^7, x\epsilon \mathbb{R}$
Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη συνάρτηση δεν είναι πολυωνυμική.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 05, 2020 12:55 am**

chris_gatos έγραψε: Τρί Μάιος 05, 2020 12:23 am Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση $f(x)=x^3+x^5+x^7, x\epsilon \mathbb{R}$
Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη συνάρτηση δεν είναι πολυωνυμική.

Είναι $f'(x)=7x^6+5x^4+3x^2=x^2(7x^4+5x^2+3) \geqslant 0$ οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα (η

μηδενίζεται μόνο στο

)
Οπότε η

είναι και 1-1, άρα αντιστρέφεται.

Αν η αντίστροφη $f^{-1}$ ήταν πολυωνιμική, τότε έστω ότι $\deg f^{-1}=m$ .
Επίσης, είναι $f^{-1}(f(x))=x$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$ (τα πεδία ορισμού/σύνολα τιμών των $f,f^{-1}$ είναι το $\mathbb{R}$ )

Οπότε, ο βαθμός του αριστερού μέλους της προηγούμενης είναι

, ενώ του δεξιού είναι

, άτοπο.
Συνεπώς, η $f^{-1}$ δεν μπορεί να είναι πολυωνυμική συνάρτηση.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 05, 2020 12:49 pm**

Μπορούμε να το δούμε και διαφορετικά.(δεν γράφω λεπτομέρειες)
Εχουμε ότι

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=\infty$
Αρα

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{f(x)}=0$

Η τελευταία για την αντίστροφη γίνεται

$\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{f^{-1}(t)}{t}=0$

που δείχνει ότι η αντίστροφη δεν μπορεί να είναι πολυωνυμική.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 05, 2020 2:07 pm**

Θα μπορούσε αυτό να αποτελέσει ερώτημα στις Πανελλήνιες;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 05, 2020 2:17 pm**

panagiotis iliopoulos έγραψε: Τρί Μάιος 05, 2020 2:07 pm Θα μπορούσε αυτό να αποτελέσει ερώτημα στις Πανελλήνιες;

Ναι Παναγιώτη!

mathematica.gr

Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;

Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;

Re: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;

Re: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;

Re: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;

Re: Η αντίστροφη πολυωνυμικής είναι.. πάντα πολυωνυμική;