mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 21, 2010 11:33 pm**

Οι συναρτήσεις f,g :R

$\rightarrow R$ είναι συνεχείς και για κάθε $x\in R$ ισχύουν :

$\int_{1}^{x}{f(t)dt}- 2 = x\cdot\int_{0}^{x}{g(t)dt}$ (1) και $g(x)\neq0$ (2). Να αποδείξετε ότι
α) H

είναι παραγωγίσιμη στο $x_{o}=0$ και f ' (0) = 2 g(0)

β)

για κάθε $x\in R$ .
γ) $\int_{1}^{x}{f(t)dt} \leq \int_{1}^{0}{f(t)dt}$ για κάθε $x\in R$ .
δ) Η εξίσωση f(x) = 2 g(x) + 2

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 22, 2010 7:49 pm**

xr.tsif έγραψε:Οι συναρτήσεις f,g :R $\rightarrow$ R είναι συνεχείς και για κάθε $x\in R$ ισχύουν :
$\int_{1}^{x}{f(t)dt}- 2 = x\cdot\int_{0}^{x}{g(t)dt}$ (1) και $g(x)\neq0$ (2). Να αποδείξετε ότι
α) H f είναι παραγωγίσιμη στο $x_{o}=0$ και f ΄(0) = 2 g(0)
β) g(x) < 0 για κάθε $x\in R$ .
γ) $\int_{1}^{x}{f(t)dt} \leq \int_{1}^{0}{f(t)dt}$ για κάθε $x\in R$ .
δ) Η εξίσωση f(x) = 2 g(x) + 2 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,1).

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
ΟΕΦΕ 2008 θέμα 4 από τις πολύ καλές ασκήσεις
Χρήστος

Ανεβάζω το ορίτζιναλ, όπως ήταν, πριν γίνει λάιτ!
Στο ίδιο διαγώνισμα ενδιαφέρον είχε, όπως προέκυψε, η ερώτηση Σ-Λ 1Βγ στους μιγαδικούς.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 22, 2010 10:03 pm**

Ανεβάζω το ορίτζιναλ, όπως ήταν, πριν γίνει λάιτ!
Στο ίδιο διαγώνισμα ενδιαφέρον είχε, όπως προέκυψε, η ερώτηση Σ-Λ 1Βγ στους μιγαδικούς.[/quote]

Κώστα ειλικρινά αυτό το original και το λαιτ δεν το καταλαβαίνω

.
Έγραψα ακριβώς το θέμα από το επίσημο site OEFE.

Φιλικά
Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 22, 2010 10:27 pm**

Μάλλον ο Κώστας ήταν στην επιτροπή θεμάτων.
Είχε προταθεί το original αλλά επικράτησε η light άποψη, ευτυχώς για τα παιδάκια.

Φιλικά Χρήστος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 22, 2010 10:48 pm**

α) Οι f,g συνεχεις, αρα οι $\int_{1}^{x}{f(t)dt},\int_{0}^{x}{g(t)dt}$ παραγωγισιμες.

Παραγωγιζω την αρχικη μου σχεση και βγαζω $f(x)=xg(x)+\int_{0}^{x}{g(t)dt}$
Για x=0, f(0)=0.
(δεν ξερω πως να βαλω σε latex το x->0. Ας πουμε οτι εννοειται.)
$lim\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=lim\frac{f(x)}{x}=lim\frac{xg(x)+\int_{0}^{x}{g(t)dt}}{x}$
η $\int_{0}^{x}{g(t)dt}$ παραγωγισιμη αρα και συνεχης επομενως το οριο της στο 0 ισουται με την τιμη της στο 0, που ειναι 0.
Ξεχωριστα το $lim\frac{\int_{0}^{x}{g(t)dt}}{x}$ που με DL'H γινεται $lim\frac{g(x)}{1}=g(0)$ αφου η g συνεχης.
Αρα τελικα το αρχικο οριο που ειναι η f'(0) ισουται με g(0)+g(0)=2g(0).

β)H g συνεχης στο R και διαφορη του μηδενος σε αυτο. Αρα διατηρει προσημο στο R.
Εστω οτι g(x)>0 στο R.
Για χ=1 στην αρχικη σχεση εχω $\int_{0}^{1}{g(t)dt}=-2$
Αρα $g(x)>0\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{g(t)dt}>0\Leftrightarrow -2>0$ , ατοπο αρα g(x)<0 στο R.

γ)Για x=0 στην αρχικη μου σχεση:
$\int_{1}^{0}{f(t)dt}-2=0\Leftrightarrow \int_{1}^{0}{f(t)dt}=2$ (1)
Για καθε χ ισχυει g(x)<0
Αρα για χ>0(ή ισο):
$\int_{0}^{x}{-g(t)dt}>0\Leftrightarrow x\int_{0}^{x}{g(t)dt}<0$ (ή ίσο)
Για χ<0:
$\int_{x}^{0}{-g(t)dt}>0\Leftrightarrow \int_{0}^{x}{g(t)dt}>0 \Leftrightarrow x\int_{0}^{x}{g(t)dt}<0$
Αρα για καθε χ $x\int_{0}^{x}{g(t)dt}\leq 0 \Leftrightarrow \int_{1}^{x}{f(t)dt}-2\leq 0$ και με αντικατασταση απο την (1) οπου το -2 το $- \int_{1}^{0}{f(t)dt}$ βγηκε
(αυτο με ζορισε πιο πολυ απο τα αλλα)

δ)Θεωρω μια αρχικη της σχεσης προς αποδειξη
$\phi (x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}-2\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x$
Παραγωγισιμη στο R ως αθροισμα παραγωγισιμων. αφου οι f,g συνεχεις στο R αρα και οι αρχικες τους παραγωγισιμες, και η 2χ παραγωγισιμη.
φ(0)=0
φ(1)= $-\int_{1}^{0}{f(t)dt}-2\int_{0}^{1}{g(t)dt}-2=0$ με αντικατασταση απο τις προηγουμενες σχεσεις.
Αρα με Rolle στην φ, βγαινει το ζητουμενο.

Την ειχα λυσει πριν καμια βδομαδα οποτε τα ειχα καπως φρεσκα.

mathematica.gr

επαναληπτική

επαναληπτική

Re: επαναληπτική

Re: επαναληπτική

Re: επαναληπτική

Re: επαναληπτική