mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 03, 2020 7:54 pm**

: Θετικοί ακέραιοι.png (6.96 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Έστω

ένας θετικός ακέραιος .

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=2

, ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, ώστε

.

Η εφαπτομένη

, από το

προς το τόξο , τέμνει την κάθετη της

στο

, στο σημείο

.

Εξηγήστε γιατί ο λόγος $\dfrac{ST}{TP}$ είναι επίσης θετικός ακέραιος !

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 03, 2020 10:50 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 03, 2020 7:54 pm Θετικοί ακέραιοι.pngΈστω ένας θετικός ακέραιος .

Στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε .

Η εφαπτομένη , από το προς το τόξο , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο .

Εξηγήστε γιατί ο λόγος $\dfrac{ST}{TP}$ είναι επίσης θετικός ακέραιος !

: θετικοί ακέραιοι.png (146.09 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

μέσο του

$F\widehat{T}S=90^{\circ}$
Από δύναμη σημείου ως προς κύκλο έχουμε PT=PA=y

.

Άρα τα τρίγωνα FTS,APS

είναι όμοια.Δηλαδή $\frac{FT}{PA}=\frac{FS}{PS}\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1+n}{y+t}\Rightarrow \frac{y+t}{y}=1+n\Rightarrow 1+\frac{t}{y}=1+n\Rightarrow \frac{t}{y}=n$ και αφού

θετικός ακέραιος η άσκηση αποδείχθηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 03, 2020 11:09 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 03, 2020 7:54 pm Θετικοί ακέραιοι.pngΈστω ένας θετικός ακέραιος .

Στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε .

Η εφαπτομένη , από το προς το τόξο , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο .

Εξηγήστε γιατί ο λόγος $\dfrac{ST}{TP}$ είναι επίσης θετικός ακέραιος !

: θετικοί ακέραιοι_1.png (8.27 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Η τετράδα $\left( {A,B\backslash K,S} \right)$ είναι αρμονική.

Από την αρμονική αναλογία έχω $\boxed{KB = x = \frac{n}{{n + 1}}}$ και άρα $\left\{ \begin{gathered} KS = \frac{n}{{n + 1}} + n = n\frac{{n + 2}}{{n + 1}} \hfill \\ KA = 2 - \frac{n}{{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{n + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επειδή : $\boxed{\frac{{TS}}{{TP}} = \frac{{KS}}{{KA}} = n}$ το ζητούμενο προφανές .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 04, 2020 9:21 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 03, 2020 7:54 pm Θετικοί ακέραιοι.pngΈστω ένας θετικός ακέραιος .

Στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε .

Η εφαπτομένη , από το προς το τόξο , τέμνει την κάθετη της στο , στο σημείο .

Εξηγήστε γιατί ο λόγος $\dfrac{ST}{TP}$ είναι επίσης θετικός ακέραιος !

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

τέμνει την

στο

και έστω

: Θετικοί ακέραιοι.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

$\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{n}{{n + 2}} = \frac{{t - x}}{{t + y}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ny}}{{n + 2}}\\ \\ \dfrac{n}{{n + 2}} = \dfrac{{t - x}}{{t + y}} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{n}{{n + 2}} = \dfrac{{tn + 2t - hy}}{{(n + 2)(t + y)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{t}{y}=n}$

mathematica.gr

Θετικοί ακέραιοι

Θετικοί ακέραιοι

Re: Θετικοί ακέραιοι

Re: Θετικοί ακέραιοι

Re: Θετικοί ακέραιοι