mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2020 8:41 pm**

Τμήμα της οροφής ενός κτιρίου καταλήγει σε ημισφαιρικό θόλο ακτίνας $\displaystyle R$ . Προκειμένου να αποκτήσει κι άλλο ύψος ,
οι κατασκευαστές σκέφτονται να προσθέσουν άλλο ένα θόλο ακτίνας $\displaystyle r$ .
α) Βρείτε το $\displaystyle r$ το οποίο μεγιστοποιεί το $\displaystyle EZ$ .
β) Βρείτε την εξίσωση της κάθετης τομής του παραβολοειδούς που θα μπορούσε να αντικαταστήσει τους δύο θόλους
και έπειτα δείξτε ότι τα $\displaystyle P,T$ είναι σημεία της .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 08, 2020 11:18 pm**

exdx έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2020 8:41 pm Τμήμα της οροφής ενός κτιρίου καταλήγει σε ημισφαιρικό θόλο ακτίνας $\displaystyle R$ . Προκειμένου να αποκτήσει κι άλλο ύψος ,
οι κατασκευαστές σκέφτονται να προσθέσουν άλλο ένα θόλο ακτίνας $\displaystyle r$ .
α) Βρείτε το $\displaystyle r$ το οποίο μεγιστοποιεί το $\displaystyle EZ$ .
β) Βρείτε την εξίσωση της κάθετης τομής του παραβολοειδούς που θα μπορούσε να αντικαταστήσει τους δύο θόλους
και έπειτα δείξτε ότι τα $\displaystyle P,T$ είναι σημεία της .

Είναι $EZ=EK+KZ=r+\sqrt {R^2-r^2}$ . Με παραγώγιση ή με Cauchy-Schwarz έχει μέγιστο $R\sqrt 2$ το οποίο λαμβάνει για $r= \dfrac {R\sqrt 2}{2}$ .

H εξίσωση της παραβολής μέσω των A,E,T

, ως προς άξονες ZB,ZE

έχει την μορφή y=ax^2+c

(το

είναι μηδέν λόγω συμμετρίας). Αφού τα $E(0,R\sqrt 2),\, B(R,0)$ είναι στην καμπύλη, λύνοντας βρίσκουμε ότι $a= -\frac {\sqrt 2}{R},\, c= R\sqrt 2$ . Δηλαδή η καμπύλη είναι η $y= -\frac {\sqrt 2}{R}x^2 + R\sqrt 2$ . Εύκολα τώρα ελέγχουμε ότι τα $T\left (\dfrac {R\sqrt 2}{2}, \dfrac {R\sqrt 2}{2}\right )$ και $P\left (-\dfrac {R\sqrt 2}{2}, \dfrac {R\sqrt 2}{2}\right )$ είναι επί της καμπύλης.

mathematica.gr

Για να ψηλώσει

Για να ψηλώσει

Re: Για να ψηλώσει