mathematica.gr

Δε θυμάμαι αν την έχουμε συζητήσει...

Δίδεται μία συνάρτηση τέτοια ώστε
]
(α) Να βρεθεί το .

(β) Να δειχθεί ότι η είναι .

(γ) Να δειχθεί ότι για κάθε .

(δ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της .

(ε) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της .

Η άσκηση είναι πολύ απλή.Την αφήνω να τη λύσει κάποιος μαθητής.
Μάλλον στο (γ) εννοείς .

Ναι εύκολη είναι.

Για να διευκολυνθώ θέτω π=p
α)
Για
ή όπου k ακέραιος
Το σύνολο τιμών της f είναι το
Άρα ισχύει ότι:
ή ... ή άρα

β) Για κάθε με ισχύει:
οπότε από την αρχική σχέση συνεπάγεται ότι
Δηλαδή η f είναι συνάρτηση ένα προς ένα.
γ) Από το ερώτημα β) προκύπτει ότι η f αντιστρέφεται.
θέτω όπου χ το
Άρα η αρχική μας σχέση γίνεται
ή , για κάθε που ανήκει στο
δ)το σύνολο τιμών της f είναι
ε)
Η Cf και της Cf^-1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία .

Η Cf^-1 είναι η γραφική παράσταση του συνημιτόνου, όμως, όχι ολόκληρη μόνο από το 0 μέχρι το π την σχεδιάζουμε.
Μετά φέρνουμε την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου και σχεδιάζουμε την συμμετρική συνάρτηση ως προς την ευθεία, οπότε δημιουργείται η Cf.
Η συνάρτηση του συνημιτόνου για χ=0 είναι y=1 και άρτια άρα συμμετρική ως προς τον άξονα y'y

nikhtas30 έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm Για
ή όπου k ακέραιος
Το σύνολο τιμών της f είναι το
Άρα ισχύει ότι:
ή ... ή άρα

Είναι και όχι .

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Αύγ 22, 2020 2:15 pm
(ε) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της .

nikhtas30 έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm
δ)το σύνολο τιμών της f είναι

Νομίζω ότι για το σύνολο τιμών θέλει να πούμε λίγα παραπάνω.

stranger έγραψε: Δευ Αύγ 24, 2020 12:03 am

nikhtas30 έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm Για
ή όπου k ακέραιος
Το σύνολο τιμών της f είναι το
Άρα ισχύει ότι:
ή ... ή άρα

Είναι και όχι .

Εξαιτίας της βιασύνης μου. Δεν σκέφτηκα καθόλου ασυναίσθητα το έγραψα. Εμπιστεύτηκα την διαίσθησή μου τυφλα. Είναι και βράδυ και νυστάζω επιπλέον δεν έχω ενέργεια για να φανταστώ τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Αύγ 24, 2020 12:31 am

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Αύγ 22, 2020 2:15 pm
(ε) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της .

inverse.png

nikhtas30 έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2020 11:24 pm
δ)το σύνολο τιμών της f είναι

Νομίζω ότι για το σύνολο τιμών θέλει να πούμε λίγα παραπάνω.

Το διορθώνω

Χωρίς να κλέψω από την Cf
Στο γ) απέδειξα ότι λίγο πριν φτάσω στο τέλος της ζητούμενης απόδειξής για κάθε χ ανήκει , οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το .

Ωραία άσκηση, αν έχετε την διάθεση και τον χρόνο θα μου έδινε μεγάλη χαρά αν μου δίνατε ακόμη μια ευκαιρία να σας αποδείξω ότι μπορώ να λύσω τέτοιες ασκήσεις άνετα.