mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 29, 2020 9:28 pm**

: Ανηφόρα - κατηφόρα.png (4.5 KiB) Προβλήθηκε 1050 φορές

Μία διαδρομή αποτελείται από ανηφόρα , την οποία διατρέχουμε με ταχύτητα 90km/h

και κατηφόρα ,

την οποία διανύουμε με ταχύτητα 120km/h

. Αν το "πήγαινε" διαρκεί

ώρες και η επιστροφή

ώρες

και

λεπτά , υπολογίστε το συνολικό μήκος της διαδρομής .

Υπάρχει περίπτωση μεταβάλλοντας την ταχύτητα της κατηφόρας οι δύο χρόνοι να γίνουν ίσοι ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 30, 2020 1:30 am**

Στο πήγαινε έχουμε:
Έστω $Dt_{1,2}=t_{1}+t_{2}=3h$
Το κινητό σε χρόνο $t_{1}$ διανύει την ανηφόρα:
@ $AB=u_{1}t_{1}=90t_{1}$
Ενώ σε χρόνο $t_{2}$ διανύει την κατηφόρα
@ $BC=u_{2}t_{2}=120t_{2}$

Η πρώτη σχέση (1)

@ $AB=u_{1}t_{1}+u_{2}t_{2}=90t_{1}+120t_{2}$
$=90Dt_{1,2}+30t_{2}=270+30t_{2}$

Στο έλα έχουμε:
Έστω $Dt_{3,4}=t_{3}+t_{4}=17/6$ σε

Το κινητό σε χρόνο $t_{3}$ διανύει την ανηφόρα
@ $CB=u_{1}t_{3}=90t_{3}$
Ενώ σε χρόνο $t_{4}$ διανύει την κατηφόρα
@ $BA=u_{2}t_{4}=120t_{4}$

Η δεύτερη σχέση (2)

@ $CB+BA=u_{1}t_{3}+u_{2}t_{4}=90t_{3}+120t_{4}$
$=90Dt_{2,3}+30t_{4}=255+30t_{4}$

Εξισώνοντας τις σχέσεις έχουμε ότι:
$270+30t_{2}=255+30t_{4}$ ή...ή

Η τρίτη σχέση (3)

@ $t_{2}=t_{4}-1/2$

Η κατηφόρα του πήγαινε ισούται με την ανηφόρα του έλα οπότε έχουμε:

$120t_{2}=90t_{3}$ ή
$4t_{2}=3t_{3}$
Αντικαθιστώντας την σχέση (3)

στην παραπάνω εξίσωση:
$4(t_{4}-1/2)=3t_{3}$
$4t_{4}-2=3t_{3}$
$4Dt_{3,4}-2=7t_{3}$
$4*17/6-2=7t_{3}$ ή...ή

$t_{3}=4/3$ σε

Επομένως
$t_{4}=Dt_{3,4}-t_{3}=3/2$ σε

Εύκολα βρίσκουμε τώρα ότι
$CB=u_{1}t_{3}=90t_{3}=120km$ και
$BA=u_{2}t_{4}=120t_{4}=180km$

Άρα το συνολικό μήκος της διαδρομής είναι
S=AB+BC=300km

.

Όσον αφορά για το αν υπάρχει περίπτωση να είναι ίσοι οι χρόνοι όταν αλλάξω την ταχύτητα της κατηφόρας.

Έχουμε:
$Dt'_{1,2}=Dt'_{2,3}$
$AB/u_{1}+BC/u_{downhill}=CB/u_{1}+BA/u_{downhill}$
Αντικαθιστώντας τα πάντα και κάνοντας τις εύκολες πράξεις καταλήγω
$u_{downhill}=90km/h$

Απαντήσεις:
Το συνολικό μήκος της διαδρομής είναι 300km

.
Επίσης αν η τιμή της ταχύτητας είναι 90km/h

τότε η διαδρομή του έλα και η διαδρομή του πήγαινε θα γίνονται στον ίδιο χρόνο. Οπότε ναι υπάρχει περίπτωση να μεταβληθεί η ταχύτητα και να έχουμε ίσους χρόνους διαδρομής στο πήγαινε και στο γυρισμό.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 30, 2020 1:46 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2020 9:28 pm Ανηφόρα - κατηφόρα.pngΜία διαδρομή αποτελείται από ανηφόρα , την οποία διατρέχουμε με ταχύτητα και κατηφόρα ,

την οποία διανύουμε με ταχύτητα . Αν το "πήγαινε" διαρκεί ώρες και η επιστροφή ώρες

και λεπτά , υπολογίστε το συνολικό μήκος της διαδρομής .

Υπάρχει περίπτωση μεταβάλλοντας την ταχύτητα της κατηφόρας οι δύο χρόνοι να γίνουν ίσοι ;

: Ανηφόρα κατηφόρα.png (6.34 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Ξέρω ότι $\boxed{s = ut \Leftrightarrow t = \frac{s}{u}}$ όπου s,u,t

διάστημα. ταχύτητα , χρόνος

Ας είναι $AB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = y\,\,\mu \varepsilon \,\,\,x,y > 0$ , για τις διαδρομές «πήγαινε» και «έλα» έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{90}} + \frac{y}{{120}} = 3 \hfill \\ \frac{y}{{90}} + \frac{x}{{120}} = 2 + \frac{5}{6} = \frac{{17}}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 180 \hfill \\ y = 120 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα η διαδρομή είναι 300km

Στο β ερώτημα απαιτώ αν

η ταχύτητα της κατηφόρας και

της ανηφόρας :

$\boxed{\frac{{180}}{{90}} + \frac{{120}}{x} = \frac{{180}}{x} + \frac{{120}}{{90}} \Leftrightarrow x = 90\left( {km/h} \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 31, 2020 10:58 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Καλή Σχολική χρονιά ελπίζω κι εύχομαι!

Η μέση ταχύτητά του δίνεται από τον αρμονικό μέσο των δύο ταχυτήτων, δηλαδή είναι $\displaystyle v = \frac{{2{v_{\alpha \nu }} \cdot {v_{\kappa \alpha \tau }}}}{{{v_{\alpha \nu }} + {v_{\kappa \alpha \tau }}}} = \frac{{2 \cdot 120 \cdot 90}}{{210}} = \frac{{720}}{7}\,Km/h$ , οπότε η διαδρομή (πήγαινε-έλα) είναι $\displaystyle S = v \cdot t = \frac{{720}}{7} \cdot \frac{{35}}{6} = 600\;Km$ , άρα η (μονή) διαδρομή είναι 300 Km

.

Οι διαδρομές ανόδου καθόδου είναι διαφορετικές. Αν οι ταχύτητες ανόδου- καθόδου δεν γίνουν ίσες, τότε είναι αδύνατο οι δύο χρόνοι (πήγαινε-έλα) να γίνουν ίσοι. Άρα για να είναι ίσοι οι δύο χρόνοι πρέπει να κατεβαίνουμε με 90 Km/h

.

Δίνω και μια παραπομπή που εξηγεί κάπως περισσότερο το σημείο με κόκκινο:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 02, 2020 8:45 pm**

Μια ακόμα απάντηση στο 1ο ερώτημα, δίχως να χρησιμοποιήσω τον "εκτός ύλης" αρμονικό μέσο.

Αφού το «πήγαινε» διαρκεί πιο πολύ από την επιστροφή, η ανηφόρα στο «πήγαινε» είναι είναι μεγαλύτερη της κατηφόρας.

Αυτό το τμήμα

της διαδρομής το διανύσαμε με διαφορά χρόνων 10 min

δηλαδή

, οπότε $\displaystyle \frac{1}{6} = \frac{s}{{90}} - \frac{s}{{120}} \Leftrightarrow s = 60\;Km$ .

Στο «πήγαινε» χρειαστήκαμε $\displaystyle \frac{2}{3}\;h$ για να το διανύσουμε, άρα για την υπόλοιπη διαδρομή χρειαστήκαμε $\displaystyle \frac{7}{3}\;h$ , όσο χρόνο χρειαστήκαμε και στο γυρισμό.

Η υπόλοιπη διαδρομή αποτελείται από δύο τμήματα ίσης απόστασης,

.

Είναι $\displaystyle \frac{S}{{120}} + \frac{S}{{90}} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow S = 120\;Km$ , οπότε όλη η διαδρομή είναι $2 \cdot 120 + 60 =300 Km$ .

mathematica.gr

Ανηφόρα - κατηφόρα

Ανηφόρα - κατηφόρα

Re: Ανηφόρα - κατηφόρα

Re: Ανηφόρα - κατηφόρα

Re: Ανηφόρα - κατηφόρα

Re: Ανηφόρα - κατηφόρα