mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 25, 2020 10:07 am**

Δείξετε ότι $\displaystyle 0<x<1\Rightarrow \pi <\frac{\sin (\pi x)}{x-{{x}^{2}}}\le 4$

Από G.H. Hardy-1908

Edit (23:00) Χωρίς λύση , τελικά .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2020 8:52 am**

Μια πρώτη προσέγγιση θα ήταν να γίνει ανάπτυγμα Taylor της $sin({\pi*x})$ , όπου
$sin({\pi*x})\approx \pi*x-\frac{(\pi*x)^3}{3!}+\frac{(\pi*x)^5}{5!}-\frac{(\pi*x)^7}{7!}+\O(9)=h(x)$
Ετσι η αρχική $f(x)=\frac{sin({\pi*x})}{x-x^2}$ μελετάται με την πολυωνυμική της "προσέγγιση" και το αποτέλεσμα για λόγους οικονομίας χώρου και πράξεων είναι στην εικόνα

: Στιγμιότυπο οθόνης (57).png (188.18 KiB) Προβλήθηκε 961 φορές

Στη δεύτερη προσέγγιση λύσης θεωρούμε την αρχική f(x)

, $, x\in (0,1)$ , συνεχής και παραγωγίσιμη στο παραπάνω διάστημα με $\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}\frac{sin({\pi*x})}{x-x^2}=\lim_{x\to0+}(\frac{sin({\pi*x})}{\pi*x})(\frac{\pi}{1-x})=\pi$ και

$\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}\frac{sin({\pi*x})}{x-x^2}=(\frac{0}{0})$ (DLH) $=\lim_{x\to1-}(\frac{\pi*cos({\pi*x})}{1-2x}=\pi$

Χρησιμοποιώντας κριτήριο παρεμβολής $\left | \frac{sin(\pi*x))}{x-x^2} \right |\leq \frac{1}{x-x^2}=g(x)$
με $g(x) \downarrow x\in(0,\frac{1}{2})$ και $g(x) \uparrow x\in(0,\frac{1}{2})$ , το αποίο αποδεικνύεται εύκολα μέσω μελέτης και $g_{min}=g(\frac{1}{2})=4$ .
Εφόσον για κάθε $x\in(0,1), f(x)\leq g(x)$ , τότε $f_{max}\leq g_{min} =4$ .

: Στιγμιότυπο οθόνης (59).png (115.06 KiB) Προβλήθηκε 961 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2020 11:39 am**

exdx έγραψε: Παρ Σεπ 25, 2020 10:07 am Δείξετε ότι $\displaystyle 0<x<1\Rightarrow \pi <\frac{\sin (\pi x)}{x-{{x}^{2}}}\le 4$

Από G.H. Hardy-1908

Edit (23:00) Χωρίς λύση , τελικά .

Δεν βλέπω κάτι δύσκολο στην άσκηση. Ο παρονομαστής στο μεσαίο κλάσμα είναι θετικός στο (0,1).

Πολλαπλασιάζοντας με αυτόν σε κάθε μέλος παίρνουμε δύο ανισότητες που πρέπει να δείξουμε. Στην δεξιά ανισότητα τα φέρνουμε όλα μπροστά οπότε αρκεί να δείξουμε $\sin \pi x-4x+4x^2\leq0.$ Θεωρώντας το τελευταίο ως συνάρτηση του $x\in[0,1]$ και με έναν πίνακα μονοτονίας, πέφτοντας μέχρι τη 2η παραγωγό, βλέπουμε ότι αυτή ισχύει.Το ίδιο και η άλλη ανισότητα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2020 11:01 pm**

Επειδή ένας φίλος μου έγραψε σε μήνυμα ότι αυτά που λέω παραπάνω δεν στέκουν και η άσκηση

δεν βγαίνει τόσο απλά γράφω μια λύση με σχολικά εργαλεία. Ο λόγος που δεν έβαλα λύση το πρωί

δεν είναι ότι σνόμπαρα την άσκηση ως απλή αλλά ότι δεν είχα δυνατότητα να παρουσιάσω πινακάκια σε Latex.

Θα τα επισυνάψω σε χειρόγραφες εικόνες οπότε ζητώ προκαταβολικά συγνώμη αν βγαίνω εκτός κανονισμών.

Λύση

Πολλαπλασιάζοντας με x-x^2

παίρνουμε την διπλή ανισότητα

$\pi x-\pi x^2<\sin \pi x\leq 4x-4x^2.$ Οπότε έχουμε να αποδείξουμε τις εξής:

$\sin \pi x-\pi x+\pi x^2>0$ και $\sin \pi x-4x+4x^2\leq 0.$

Για την πρώτη θεωρώντας τη συνάρτηση $f(x)=\sin \pi x-\pi x+\pi x^2,x\in[0,1]$ έχουμε:

${f}'(x)=\pi \cos \pi x -\pi +2\pi x$ και ${f}''(x)=-\pi^2 \sin \pi x+2 \pi.$

Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η {f}''

έχει δύο μόνο ρίζες x_1<1/2<x_2

.

Για

βρίσκουμε εύκολα το πρόσημο της {f}''

.

Επίσης έχουμε τις προφανείς ρίζες x=0,1/2,1

της

και τις επίσης προφανείς

x=0,1

ρίζες της

Συμπληρώνουμε στο πινακάκι τα παραπάνω και το πρόσημο

της {f}''

και τα υπόλοιπα είναι τετριμμένα. Στο πρώτο πινακάκι έχουμε τα συμπεράσματα.

Για τη δεύτερη θεωρώντας τη συνάρτηση $f(x)=\sin \pi x-4 x+4 x^2,x\in[0,1]$ έχουμε:

${f}'(x)=\pi \cos \pi x -4+8 x$ και ${f}''(x)=-\pi^2 \sin \pi x+8.$

Μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε ότι η {f}''