mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2020 12:45 pm**

: Μέγιστη _διάμεσος_.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Από όλα τα τετράπλευρα με πλευρές AB=11, BC=9 , CD=3 , DA=7

, κατασκευάστε εκείνο ,

για το οποίο το τμήμα το οποίο συνδέει τα μέσα M , N

των

αντίστοιχα είναι το μέγιστο δυνατόν .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 28, 2020 5:00 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2020 12:45 pm Μέγιστη _διάμεσος_.pngΑπό όλα τα τετράπλευρα με πλευρές , κατασκευάστε εκείνο ,

για το οποίο το τμήμα το οποίο συνδέει τα μέσα των αντίστοιχα είναι το μέγιστο δυνατόν .

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων.

: Μέγιστη διάμεσος.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

$\displaystyle A{B^2} + C{D^2} = 130 = A{D^2} + B{C^2} \Leftrightarrow AC \bot BD$

$\displaystyle MN \le OM + ON = \frac{{AB + CD}}{2} \Leftrightarrow MN \le 7,$ με την ισότητα να ισχύει όταν M, O, N

συνευθειακά,

δηλαδή AB||CD.

Η κατασκευή πλέον του τραπεζίου είναι απλή.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 29, 2020 9:37 am**

Για το πλήρες της λύσης θα πρέπει να δούμε τι γίνεται και στην περίπτωση που το τετράπλευρο είναι μη κυρτό.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 29, 2020 11:43 am**

Ας προσπαθήσουμε να δούμε μία μέθοδο λύσης στην γενικότερη μορφή τετράπλευρου (και για μη κυρτό).

Στο σχήμα που ακολουθεί, έστω και αν ήταν μη κυρτό, θεωρούμε τα παραλληλόγραμμα DNEA, NCBZ,

οπότε έχουμε $AE\mathop = \limits^\parallel BZ = c,\;\left\{ M \right\} \in \left\{ {EZ} \right\},\;EM = MZ.$
Από το πρώτο θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο NEZ,

τελικά αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη επί 2, παίρνουμε: $4M{N^2} = 2{d^2} + 2{b^2} - {\left( {2x} \right)^2} \leqslant 2{d^2} + 2{b^2} - T{Q^2},$ αφού $2x = EZ \geqslant TQ.$
Συνεπώς το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν $EZ = TQ \Rightarrow Z \equiv Q \Rightarrow DC\parallel AB.$

: tetr..png (28.12 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 29, 2020 1:49 pm**

Γιώργο και Σωτήρη , σας ευχαριστώ για την χαρά που μου έδωσαν οι λύσεις σας !

Τον μεν Γιώργο γιατί αξιοποίησε αριστοτεχνικά τα αριθμητικά δεδομένα ( επί των οποίων στηρίχθηκε

η δημιουργία της άσκησης ) , τον δε Σωτήρη γιατί άρπαξε την ευκαιρία για μιαν έξοχη γενίκευση

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την εύστοχη παρέμβασή του .

: Μέγιστη ψευτοδιάμεσος.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Κατόπιν αυτών θέτω το πεζό θέμα : Να υπολογισθεί η μέγιστη "ψευδοδιάμεσος"

του τετραπλεύρου του σχήματος , με : AB=7 , BC=6 , AD=5 , DC=4

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 29, 2020 5:46 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2020 1:49 pm Γιώργο και Σωτήρη , σας ευχαριστώ για την χαρά που μου έδωσαν οι λύσεις σας !

Τον μεν Γιώργο γιατί αξιοποίησε αριστοτεχνικά τα αριθμητικά δεδομένα ( επί των οποίων στηρίχθηκε

η δημιουργία της άσκησης ) , τον δε Σωτήρη γιατί άρπαξε την ευκαιρία για μιαν έξοχη γενίκευση

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την εύστοχη παρέμβασή του .

Μέγιστη ψευτοδιάμεσος.pngΚατόπιν αυτών θέτω το πεζό θέμα : Να υπολογισθεί η μέγιστη "ψευδοδιάμεσος"

του τετραπλεύρου του σχήματος , με :