mathematica.gr

Πόσες το πολύ οξείες γωνίες μπορεί να έχει ένα κυρτό πολύγωνο;

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές Γυμνασίου. Μετά ανοικτή σε όλους.)

Σχόλιο: Παρ' όλο που το παραπάνω έπρεπε να υπάρχει ως απλή άσκηση σε όλες τις Γεωμετρίες,
στο σημείο που μελετάνε το άθροισμα των γωνιών πολυγώνου, δεν φαίνεται να το έχω δει πουθενά.
Ίσως κάνω λάθος.

(Έκανα διόρθωση, προσθέτοντας την λέξη "κυρτό" που είχα ξεχάσει... Άντεεεε)

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Οκτ 06, 2020 10:26 pm Πόσες το πολύ οξείες γωνίες μπορεί να έχει ένα κυρτό πολύγωνο;

Καλησπέρα σας!
Εμφανίζονται οξείες γωνίες σε οποιοδήποτε οξυγώνιο τρίγωνο. Θα δείξουμε ότι είναι αδύνατον να εμφανίζονται ή περισσότερες οξείες γωνίες σε ένα πολύγωνο.
Έστω το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού -γώνου και ακόμη, έστω ότι έχει τουλάχιστον οξείες γωνίες. Τότε:

Όμως, είναι για κάθε -γωνο, από το οποίο προκύπτει άτοπο.
(Σημείωση: το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού -γώνου προκύπτει από τον χωρισμό του -γώνου σε τρίγωνα. Έτσι )
Άρα το μέγιστο πλήθος οξείων γωνιών σε ένα κυρτό -γωνο είναι

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Αν θέλεις μία παραλλαγή της λύσης που αποφεύγει την απόδειξη με άτοπο, να μία.

Έστω ότι το κυρτό πολύγωνο έχει το πλήθος οξείες γωνίες. Τότε το άθροισμα των γωνιών του είναι

, από όπου . Δηλαδή , κσι λοιπά.

4 τουλάχιστον εσωτερικές οξείες σημαίνει 4 τουλάχιστον εξωτερικές αμβλείες με άθροισμα μεγαλύτερο των , άτοπο.