mathematica.gr

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Κ,Λ,Μ επί των πλευρών ΒΓ, ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα, τέτοια ώστε οι ευθείες ΑΚ, ΒΛ, ΓΜ να συντρέχουν στο σημείο Ρ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

Γεια σας!!!Επιτελους βρηκα λιγο χρονο για να συμμετεχω και εγω στο forum μας.. Νομιζω οτι εχω μια λυση για την ομορφη αυτη ασκηση!!!Νομιζω πως ολη η ασκηση τελειωνει αν καποιος παρατηρησει πως (αποδεικνυεται ευκολα με εμβαδα πχ αλλα και οτι απο την ανισοτητα bcs.....Ελπιζω να μην εκανα λαθος!!

Μια Open Question:

Σε ποιά θέση του Ρ επιτυγχάνεται η τιμή 6,ώστε το 6 να μήν είναι απλά κάτω φράγμα;

S.E.Louridas

S.E.Louridas έγραψε:Μια Open Question:

Σε ποιά θέση του Ρ επιτυγχάνεται η τιμή 6,ώστε το 6 να μήν είναι απλά κάτω φράγμα;

S.E.Louridas

Στο βαρύκεντρο. Μάλλον ο Σωτήρης θέλει να τονίσει κάτι βαθύτερο. Όταν μας ζητούν ελάχιστο ή μέγιστο σε ανισότητες πρέπει να προσδιορίζουμε εκείνη τη θέση για την οποία λαμβάνεται αυτή η τιμή που βρήκαμε ως υποψήφια για ελάχιστο ή μέγιστο. Διαφορετικά παραμένει απλά ένα κάτω ή άνω φράγμα!

Αλέξανδρος

Από την βιβλιογραφία είναι γνωστές οι ανισότητες :

και με τις ισότητες να αληθεύουν όταν όπου είναι το βαρύκεντρο του δοσμένου τριγώνου

Ισχύει όμως πάντοτε ( για κάθε σημείο στο εσωτερικό του ) η ισότητα

Αυτή η ισότητα μου είναι γνωστή από τα μαθητικά χρόνια, αλλά τελικά όπως διαβάζουμε στο τεύχος 4, σελίδα 55, του εξαιρετικού περιοδικού ''Το φ'' που εκδίδει ο Β. Βισκαδουράκης, οφείλεται στον Leonhard Euler.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Για την περίπτωση όπου το σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό μέρος του υπάρχουν διάφορες παραλλαγές στα πρόσημα των παραγόντων στο πρώτο μέλος της ισότητας, με το δεύτερο μέλος πάντοτε ίσον με 2.

( Όταν για παράδειγμα, το βρίσκεται στο εωτερικό μέρος της κατά κορυφή γωνίας της ( ή ή ), τότε ισχύει )

ΑΚΡΙΒΩΣ Αλέξανδρε, ακριβώς και για να το κατανοήσουμε ας επιχειρήσουμε να μιλήσουμε,
γιά το ελάχιστο του αθροίσματος των τετραγώνων των αποστάσεων τυχόντος σημείου στο εσωτερικό δοθέντος κυρτού τατραπλεύρου (και γενικώτερα ν-πλεύρου με ν>3) από τις πλευρές του.

S.E.Louridas