mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 31, 2020 10:03 am**

: Άνευ γεωμετρικής σημασίας ;.png (10.45 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Η μπλε ευθεία διέρχεται από το σημείο

και τα

είναι οι αποστάσεις των σημείων B , C

απ' αυτήν .

Υπολογίστε το μέγιστο του αθροίσματος : BB'+CC'

. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος ;

Υπολογίστε το μέγιστο του αθροίσματος : BB'^2+CC'^2

. Έχει κάποια γεωμετρική ερμηνεία το αποτέλεσμα ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 31, 2020 10:42 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 31, 2020 10:03 am Άνευ γεωμετρικής σημασίας ;.pngΗ μπλε ευθεία διέρχεται από το σημείο και τα είναι οι αποστάσεις των σημείων απ' αυτήν .

Υπολογίστε το μέγιστο του αθροίσματος : . Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος ;

Υπολογίστε το μέγιστο του αθροίσματος : . Έχει κάποια γεωμετρική ερμηνεία το αποτέλεσμα ;

Για το πρώτο ερώτημα. Αν M, N

είναι τα μέσα των BC, B'C'

αντίστοιχα, τότε:

: Χωρίς ΓΕ.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 838 φορές

$\displaystyle BB' + CC' = 2MN \le 2AM \Leftrightarrow$ $\boxed{BB' + CC' \le 10}$ όταν $MA\bot B'C'.$

Όλη η λύση αποτελεί γεωμετρική ερμηνεία. Από τη διάμεσο του τραπεζίου μέχρι τη σύγκριση κάθετης πλευράς και υποτείνουσας.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 31, 2020 11:16 am**

Καλημέρα σε όλους.

: 31-10-2020 Γεωμετρία.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

Έστω

το μέσο του

. Τότε $\displaystyle BB' + CC' = 2MM'$ , όπου

η προβολή του

στη

.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο MM’A

είναι $MM’ \le MA$ οπότε το μέγιστο του αθροίσματος BB’+CC’

λαμβάνεται όταν ταυτιστεί το

με το

και ισούται με $\displaystyle 2\left( {MA} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 10$ .

Σε αυτήν την περίπτωση η μπλε ευθεία έχει συντ. διεύθυνσης $\displaystyle \lambda$ , ώστε $\displaystyle \lambda \cdot {\lambda _{{\rm M}{\rm A}}} = - 1 \Leftrightarrow \lambda \cdot \left( { - \frac{4}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \lambda = \frac{3}{4}$ .

(ΑΛΛΙΩΣ):
Στο τρίγωνο MM’A

βλέπουμε ότι το

κινείται (βόσκει) στον κύκλο διαμέτρου

, οπότε η μέγιστη τιμή του MM'

λαμβάνεται όταν ταυτιστεί με το

.

edit (17:30):

Για το δεύτερο ερώτημα:

Η μπλε ευθεία είτε είναι κατακόρυφη, είτε έχει εξίσωση $\displaystyle \lambda x - y + 4 = 0$ .

Στην πρώτη περίπτωση η μπλε ευθεία είναι η x=0

, οπότε $\displaystyle B{B'^2} + C{C'^2} = {1^2} + {7^2} = 50$ .

Στη δεύτερη περίπτωση, είναι $\displaystyle B{B'^2} + C{C'^2} = \frac{{{{\left( { - \lambda + 4} \right)}^2}}}{{{\lambda ^2} + 1}} + \frac{{{{\left( {7\lambda + 4} \right)}^2}}}{{{\lambda ^2} + 1}} = \frac{{50{\lambda ^2} + 48\lambda + 32}}{{{\lambda ^2} + 1}}$

Με τη βοήθεια των παραγώγων βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle \lambda = \frac{{3 + \sqrt {41} }}{8}$
με τιμή περίπου 66,6

. Γεωμετρική ερμηνεία δεν βλέπω, (δικαιώνεται η εκφώνηση;). Μόνο δαιμονικό δάκτυλο στο μέγιστο βλέπω.

mathematica.gr

Χωρίς γεωμετρική ερμηνεία

Χωρίς γεωμετρική ερμηνεία

Re: Χωρίς γεωμετρική ερμηνεία

Re: Χωρίς γεωμετρική ερμηνεία