Υπολογισμός ολοκληρώματος
Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 26, 2010 2:28 pm
Καλησπέρα!
Θέτω ένα πρόβλημα εδώ, για αποσυμφόρηση των σελίδων που είναι σχετικές με τις εξετάσεις.
Δίνεται το πολυώνυμο:
χ πραγματικός.
Ορίζουμε:
![\displaystyle{
P^{\left[ 1 \right]} (x) = P(x)
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0893f4f6f85fcd5c1dba4a38344b6159.png "\displaystyle{
P^{\left[ 1 \right]} (x) = P(x)
}")
και για n μεγαλύτερο ή ίσο του ένα:
![\displaystyle{
P^{\left[ {n + 1} \right]} (x) = P^{\left[ n \right]} (P(x))
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d83c5dc2e4a084f04d328b45f1a2c7a9.png "\displaystyle{
P^{\left[ {n + 1} \right]} (x) = P^{\left[ n \right]} (P(x))
}")
(n φυσικός)
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
![\displaystyle{
\int\limits_0^1 {P^{\left[ {2010} \right]} } (x)dx
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/908082a80405dc56e5280a4222eb0a0b.png "\displaystyle{
\int\limits_0^1 {P^{\left[ {2010} \right]} } (x)dx
}")
Θέτω ένα πρόβλημα εδώ, για αποσυμφόρηση των σελίδων που είναι σχετικές με τις εξετάσεις.
Δίνεται το πολυώνυμο:
χ πραγματικός.
Ορίζουμε:
και για n μεγαλύτερο ή ίσο του ένα:
(n φυσικός)
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
και έτσι εύκολα παίρνουμε: 
![\displaystyle P^{[n]}(1-x)=1-P^{[n]}(x) \color{red} (1)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/af43512a87fc595e4957e8cd1e9c8d36.png "\displaystyle P^{[n]}(1-x)=1-P^{[n]}(x) \color{red} (1)")
είναι![\displaystyle P^{[n]}(1-P(x))=1-P^{[n]}(P(x))\Rightarrow P^{[n]}(P(1-x))=1-P^{[n+1]}(x)\Rightarrow P^{[n+1]}(1-x)=1-P^{[n+1]}(x)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ab75b40dd3c61e8eb8df65b4a44b546f.png "\displaystyle P^{[n]}(1-P(x))=1-P^{[n]}(P(x))\Rightarrow P^{[n]}(P(1-x))=1-P^{[n+1]}(x)\Rightarrow P^{[n+1]}(1-x)=1-P^{[n+1]}(x)")
.
και με τη βοήθεια της 
, προκύπτει εύκολα ότι αυτό θα είναι ίσο με 
.