Παράμετρος και ελαχιστοποίηση
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2020 12:17 am
Να βρείτε για ποια τιμή της παραμέτρου 
ελαχιστοποιείται το ολοκλήρωμα:
ελαχιστοποιείται το ολοκλήρωμα:![x\in\left[0,4\right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7f354caa0221e0b9605a279d595e94fd.png "x\in\left[0,4\right]")
έχουμε 
. Αν
τότε 
και κατα συνέπεια το ολοκλήρωμα ισούται με ![\displaystyle{\int_{0}^{4}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x=4\,(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{4}=4\,(a-4)+\dfrac{16}{3}=4\,a-\dfrac{32}{3}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9afd82b4d2a4fb0a6d04b099df5a2cd9.png "\displaystyle{\int_{0}^{4}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x=4\,(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{4}=4\,(a-4)+\dfrac{16}{3}=4\,a-\dfrac{32}{3}}")
Αν
τότε για έχουμε 
, άρα 
, οπότε στην περίπτωση αυτή το ολοκλήρωμα ισούται με ![\displaystyle{\int_{0}^{4}\left(x\,(4-x)-a\right)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{4}\left(4-a-(x-2)^2\right)\,\mathrm{d}x=4\,(4-a)-\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{4}=4\,(4-a)-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}-4\,a}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/bd4942d04c6bfa20cd98eba6b6c87d73.png "\displaystyle{\int_{0}^{4}\left(x\,(4-x)-a\right)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{4}\left(4-a-(x-2)^2\right)\,\mathrm{d}x=4\,(4-a)-\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{4}=4\,(4-a)-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}-4\,a}")
Η τελευταία περίπτωση είναι η
όπου τώρα οι ρίζες της ολοκληρωτέας είναι οι 
και "σπάμε" το ολοκλήρωμα ως εξής:![\begin{aligned}I&=\int_{0}^{x_1}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x+\int_{x_1}^{x_2}\left(4-a-(x-2)^2\right)\,\mathrm{d}x+\int_{x_2}^{4}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x\\&=x_1\,(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{x_1}+(x_2-x_1)\,(4-a)-\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{x_1}^{x_2}+(4-x_2)(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{x_2}^{4}\\&=2\,(x_1-x_2)\,(a-4)+\dfrac{(x_1-2)^3}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{(x_2-2)^3}{3}+\dfrac{(x_1-2)^3}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{(x_2-2)^3}{3}+4\,(a-4)\\&=4\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}-\dfrac{2}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+4\,(a-4)\\&=\dfrac{8}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+\dfrac{16}{3}+4\,(a-4)\end{aligned}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7462a206c763a2d1ebd8a8064e6f411a.png "\begin{aligned}I&=\int_{0}^{x_1}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x+\int_{x_1}^{x_2}\left(4-a-(x-2)^2\right)\,\mathrm{d}x+\int_{x_2}^{4}\left((x-2)^2+a-4\right)\,\mathrm{d}x\\&=x_1\,(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{0}^{x_1}+(x_2-x_1)\,(4-a)-\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{x_1}^{x_2}+(4-x_2)(a-4)+\left[\dfrac{(x-2)^3}{3}\right]_{x_2}^{4}\\&=2\,(x_1-x_2)\,(a-4)+\dfrac{(x_1-2)^3}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{(x_2-2)^3}{3}+\dfrac{(x_1-2)^3}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{(x_2-2)^3}{3}+4\,(a-4)\\&=4\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}-\dfrac{2}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+4\,(a-4)\\&=\dfrac{8}{3}\,(4-a)\,\sqrt{4-a}+\dfrac{16}{3}+4\,(a-4)\end{aligned}")
Συνπτικά,
Μελετώντας την ως προς τη μονοτονία, βλεπουμε ότι η παράγωγος είναι αρνητική στo
και θετική στo 
και ενώ είναι συνεχής στα σημεία
δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτά, οπότε η ελάχιστη τιμή της 
παρουσιάζεται στο 
και ισούται με 
ΥΓ. Μήπως πήγα μέσω Λαμίας ;