mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 22, 2020 10:57 pm**

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2020-21
Θέματα της 1ης φάσης για την 6η τάξη

1. Μια πόλη έχει την μορφή ενός τετραγωνισμένου σχήματος. Οι γραμμές είναι οι δρόμοι και τα τετράγωνα είναι τα οικοδομικά τετράγωνα. Ο Κώστας και η Όλγα ξεκίνησαν από την διασταύρωση

προς την ίδια διεύθυνση και στην συνέχεια ο καθένας τους σε κάθε διασταύρωση είτε έστριβε (δεξιά ή αριστερά), είτε προχωρούσε ευθεία μπροστά. Ο Κώστας έστριψε

φορές αριστερά,

φορές δεξιά και

φορές προχώρησε ευθεία. Η Όλγα έστριψε

φορές δεξιά,

φορές αριστερά και

φορές προχώρησε ευθεία. Θα μπορούσαν άραγε, ως αποτέλεσμα της κίνησής τους και οι δυο τους να βρεθούν στην ίδια διασταύρωση

;

2. Σε ένα μοναστήρι κάθε μοναχός είναι είτε εξομολογούμενος, είτε εξομολόγος. Στη συζήτηση με εξομολογούμενο κάθε άτομο λέει πάντα την αλήθεια και στη συζήτηση με τον εξομολόγο, ψεύδεται. Ακριβώς έναν από τους μοναχούς τον λένε Ψευτούλη. Μια φορά ο μοναχός

είπε στον μοναχό

: «Εν τέλη ο Ψευτούλης είναι εξομολογούμενος». Ύστερα ο μοναχός

είπε στον $\Gamma$ : “Ο Ψευτούλης είναι εξομολόγος». Στο τέλος ο $\Gamma$ είπε στον μοναχό

: «Ο Ψευτούλης είμαι εγώ!!». Μπορεί άραγε ο μοναχός

να είναι εξομολογούμενος;

3. Ένα τετράγωνο διαστάσεων $100 \times 100$ είναι κομμένο σε σχήματα της μορφής

: Screen Shot 2020-12-22 at 22.49.14.png (3.39 KiB) Προβλήθηκε 1627 φορές

(τα σχήματα μπορεί να έχουν περιστραφεί και αναποδογυριστεί). Για κάθε γραμμή κελιών (οριζόντια ή κάθετη) σημειώθηκε: κελιά πόσων σχημάτων αυτή περιέχει. Το άθροισμα αυτών τον διακοσίων αριθμών προέκυψε ίσο με 12000

. Πόσα μεταξύ των σχημάτων είναι τετράγωνα; Μη ξεχάσετε να δικαιολογήσετε την απάντηση. (Για παράδειγμα στο σχήμα φαίνονται οι σημειωμένοι αριθμοί των γραμμών για ένα ορθογώνιο $5 \times 4$ .)

: Screen Shot 2020-12-22 at 22.48.07.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 1627 φορές

4. Από τους φυσικούς αριθμούς $\alpha$ και $\alpha+1$ διαλέξαμε από έναν διαιρέτη τους. Το άθροισμά των διαιρετών προέκυψε ίσο με 2036

. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός

;

Πηγή

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 26, 2020 6:13 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Δεκ 22, 2020 10:57 pm

4. Από τους φυσικούς αριθμούς $\alpha$ και $\alpha+1$ διαλέξαμε από έναν διαιρέτη τους. Το άθροισμά των διαιρετών προέκυψε ίσο με . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός ;

Πηγή

Έστω

ο διαιρέτης του

και

ο διαιρέτης του a+1

.
Τότε

και

. Προσθέτοντάς τες κατά μέλη λαμβάνουμε x+y=2036≤a+a+1=2a+1

που δίνει

που δίνει

που δίνει

. Επομένως a_m_i_n_.=1018

.
Χάνω κάτι?

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 26, 2020 7:51 pm**

Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 6:13 pm
Έστω ο διαιρέτης του και ο διαιρέτης του .
Τότε και . Προσθέτοντάς τες κατά μέλη λαμβάνουμε που δίνει που δίνει
που δίνει . Επομένως .
Χάνω κάτι?

Αν

, τότε

. Εξέτασε τους διαιρέτες του 1019

, δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του 1018

τον αριθμό 2036

; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 26, 2020 7:59 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 7:51 pm
Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 6:13 pm
Έστω ο διαιρέτης του και ο διαιρέτης του .
Τότε και . Προσθέτοντάς τες κατά μέλη λαμβάνουμε που δίνει που δίνει
που δίνει . Επομένως .
Χάνω κάτι?
Αν , τότε . Εξέτασε τους διαιρέτες του , δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του τον αριθμό ; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

Ακριβώς, απλά επειδή είδα ότι δεν επαληθεύει απόρησα τι λάθος έχει η λύση μου. Παρατήρησα μόλις το λάθος μου. Είναι όντως a≥1018

, απλά δεν επαληθεύει απαραίτητα η ελάχιστη τιμή του

που επαληθεύει την ανίσωση. Θα προσπαθήσω να ανεβάσω ολόκληρη τη λύση αργότερα, απλά τώρα δεν μπορώ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 26, 2020 8:39 pm**

Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 7:59 pm Αν , τότε . Εξέτασε τους διαιρέτες του , δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του τον αριθμό ; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 6:13 pm Ακριβώς, απλά επειδή είδα ότι δεν επαληθεύει απόρησα τι λάθος έχει η λύση μου. Παρατήρησα μόλις το λάθος μου. Είναι όντως , απλά δεν επαληθεύει απαραίτητα η ελάχιστη τιμή του που επαληθεύει την ανίσωση. Θα προσπαθήσω να ανεβάσω ολόκληρη τη λύση αργότερα, απλά τώρα δεν μπορώ.

Ωραία άσκηση.

Επειδή είσαι στο σωστό μονομάτι, και αφού είδες ότι αποτυγχάνουν οι ίδιοι οι διαιρέτες a, a+1

των

και

, αντίστοιχα, δοκίμασε όταν ο ένας από τους δύο διαιρέτες είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης του εκτός από τον εαυτό του (δηλαδή πάρε το δεύτερο μεγαλύτερο διαιρέτη του).

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 27, 2020 10:32 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 8:39 pm Επειδή είσαι στο σωστό μονομάτι, και αφού είδες ότι αποτυγχάνουν οι ίδιοι οι διαιρέτες των και , αντίστοιχα, δοκίμασε όταν ο ένας από τους δύο διαιρέτες είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης του εκτός από τον εαυτό του (δηλαδή πάρε το δεύτερο μεγαλύτερο διαιρέτη του).

Εννοείται ότι η άσκηση είναι ανοικτή σε όλους. Παροτρύνω ιδίως τους μαθητές μας να την κοιτάξουν.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 27, 2020 10:55 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 8:39 pm
Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 7:59 pm Αν , τότε . Εξέτασε τους διαιρέτες του , δίνει κάποιος ως άθροισμα μαζί με τους διαιρέτες του τον αριθμό ; Αν όχι, τότε ο αριθμός αυτός δεν μπορεί να είναι ο ελάχιστος που επαληθεύει το πρόβλημά μας.

Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 26, 2020 6:13 pm Ακριβώς, απλά επειδή είδα ότι δεν επαληθεύει απόρησα τι λάθος έχει η λύση μου. Παρατήρησα μόλις το λάθος μου. Είναι όντως , απλά δεν επαληθεύει απαραίτητα η ελάχιστη τιμή του που επαληθεύει την ανίσωση. Θα προσπαθήσω να ανεβάσω ολόκληρη τη λύση αργότερα, απλά τώρα δεν μπορώ.
Ωραία άσκηση.

Επειδή είσαι στο σωστό μονομάτι, και αφού είδες ότι αποτυγχάνουν οι ίδιοι οι διαιρέτες των και , αντίστοιχα, δοκίμασε όταν ο ένας από τους δύο διαιρέτες είναι ο μεγαλύτερος διαιρέτης του εκτός από τον εαυτό του (δηλαδή πάρε το δεύτερο μεγαλύτερο διαιρέτη του).

Με επιφύλαξη (συνεχίζω από εκεί που τελείωσα):
Θα δούμε τώρα την περίπτωση που ο ένας διαιρέτης είναι ο μεγαλύτερος δυνατός και ο άλλος ο δεύτερος μεγαλύτερος. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι:
x≤a/2

και

, με:

που δίνει

που δίνει

που δίνει

που δίνει

. Πράγματι για a_m_i_n_.=1357

θα έχουμε τους διαιρέτες 1357

και

με άθροισμα
2036

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 27, 2020 10:59 am**

Al.Koutsouridispost_id=333432 έγραψε:Τρί Δεκ 22, 2020 10:57 pm 4. Από τους φυσικούς αριθμούς $\alpha$ και $\alpha+1$ διαλέξαμε από έναν διαιρέτη τους. Το άθροισμά των διαιρετών προέκυψε ίσο με . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός ;

Αν

τότε παίρνουμε ως διαιρέτη του

τον

και ως διαιρέτη του a+1

τον $\dfrac{1358}{2}=679$
Τότε 1357+679=2036

Αν $a\leq 1356$ τότε θεωρούμε τους διαιρέτες

και

των

αντίστοιχα.
Αν x=a,y=a+1

τότε $x+y=2a+1\Leftrightarrow 2a=2035$ αδύνατο
$\Rightarrow x+y=\dfrac{a}{b}+\dfrac{a+1}{c}$ όπου $b/a,c/(a+1),b,c\in \mathbb{N}^*$ και τουλάχιστον ένας εκ των δύο είναι διαφορετικός του

$\Rightarrow (x+y)_{max}=\dfrac{a}{2}+\dfrac{a+1}{1}\leq \dfrac{1356}{2}+1357<2036$
Έτσι $a_{min}=1357$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 27, 2020 11:39 am**

Ιωακείμ και Μανώλης από

mathematica.gr

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2021 (1η φάση, 6η τάξη)