mathematica.gr

Τα ημικύκλια με διαμέτρους και , εφάπτονται εξωτερικά στο .

Εντοπίστε - με κανόνα και διαβήτη - σημείο , ώστε αν φέρουμε τα εφαπτόμενα προς

τα ημικύκλια τμήματα , να είναι : και : .

Πρώτα και κύρια να ευχηθώ καλή χρονιά σε όλους μας.
Δεύτερον, να ευχαριστήσω τον KARKAR, διότι με τα σχετικά θέματα που προτείνει δείχνει που έλυναν οι αρχαίοι Έλληνες δευτεροβάθμιες πολυωνυμικές εξισώσεις με τη χρήση των μεθόδων της Γεωμετρίας.
Τέτοια, θέματα "κουμπώνουν" μια χαρά με την ενότητα που έχω να παρουσιάσω στους φοιτητές του Μαθηματικού του Α.Π.Θ. για την επίλυση εξισώσεων μέσω της Γεωμετρίας.
Συγνώμη που δεν κάνω σχήμα και βασίζομαι μόνο στο σχήμα του Θανάση.
Ονομάζω το κέντρου του κύκλου με διάμετρο και το κέντρο του κύκλου με διάμετρο .
Φέρουμε τις ακτίνες των δύο κύκλων από τα σημεία επαφής τους και οι φορείς τους τέμνονται στο σημείο .
Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Ισχύει , Αυτό σημαίνει ότι , (1)

Όμως, το τρίγωνο ODK είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα . Αυτό σημαίνει ότι , (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει - με την χρήση της ταυτότητας που ήταν γνωστή στους αρχαίους με γεωμετρική μορφή - ότι ζητούμε την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα για το οποίο το άθροισμα των κάθετων πλευρών του είναι 7 και το γινόμενο τους 12. Δηλαδή, τα μήκη τους είναι και .
Η κατασκευή αυτών των μηκών υπάρχει ακόμα στα σχολικά μας εγχειρίδια της Β ΓΕΛ,
άλλο που δεν διδάσκεται σχεδόν ποτέ, (το τονίζω, σχεδόν ποτέ). Δεν έγραψα τη λύση με πολλές λεπτομέρειες, αλλά οι ενδιαφερόμενοι μερακλήδες μαθητές μπορούν να ολοκληρώσουν μόνοι τους κάποια μικροβήματα της λύσης που έχουν ασάφειες.

Γεια σας Θανάση και Ανδρέα.
Επιτρέψτε μου και την εξής κατασκευή του (εν γένει δύο λύσεις) του Ανδρέα, άρα και του ζητούμενου (χωρίς μετρική γεωμετρία):

Χρόνια Πολλά σε όλους!

Στην ουσία είναι η κατασκευή του Ανδρέα. Στο ημικύκλιο διαμέτρου παίρνω σημείο ώστε (συμπτωματικά το ανήκει και στο ημικύκλιο ).

Φέρνω τις ( σημεία των ημικυκλίων αντίστοιχα). Οι εφαπτόμενες στα

ορίζουν το ζητούμενο σημείο Ανάλογα ορίζεται το σημείο για

Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα .
α) Το ανήκει στον ριζικό άξονα και τότε η απόσταση του από το σημείο επαφής των δύο κύκλων είναι .
β) . Τότε αν η τομή του ριζικού άξονα με το . αβίαστα προκύπτει

ότι και η κατασκευή προφανής.

Η λύση του Αντρέα με ελαφρά διαφορετικό τελείωμα : ή :

και , οπότε : ή ,, που δίνουν τις δύο λύσεις του Νίκου

( είναι ο λόγος που το θέμα μπήκε σ'αυτόν τον φάκελο ) .

Και τώρα ήρθε η ώρα για το αμείλικτο ερώτημα : Με μόνη την απαίτηση τα να είναι κάθετα , μπορείτε

να βρείτε ή έστω να "προσεγγίσετε" , τον γεωμετρικό τόπο του σημείου ;

Το πάνω μοιάζει να είναι τόξο κύκλου, αλλά μάλλον δεν είναι. Το κάτω, μη ρωτάς τι είναι...