mathematica.gr • Ακέραιος

Σελίδα 1 από 1

Ακέραιος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 30, 2020 10:11 pm

από socrates

Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος

αν το μικρότερο τέλειο τετράγωνο που είναι μεγαλύτερο του

είναι ίσο με n + 37,

n + 37,

ενώ το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο που είναι μικρότερο του

είναι ίσο με n − 14.

n − 14.

Re: Ακέραιος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 30, 2020 11:05 pm

από Joaakim

socrates έγραψε: Τετ Δεκ 30, 2020 10:11 pm Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος αν το μικρότερο τέλειο τετράγωνο που είναι μεγαλύτερο του είναι ίσο με ενώ το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο που είναι μικρότερο του είναι ίσο με

Έστω ότι

n+37=k^2

και

n-14=m^2

, με

k,m

ακεραίους και k^2>n>m^2

k^2>n>m^2

. Έχουμε λοιπόν τι σύστημα
n+37=k^2

n+37=k^2

n-14=m^2

Με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε:
(k+m)(k-m)=51=3*17

(k+m)(k-m)=51=3*17

.
Άρα διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Περίπτωση 1
k+m=51

k+m=51

k-m=1

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:
2k=52

2k=52

, που δίνει k=26

k=26

και συνεπώς m=25

m=25

, και,

n=25^2+14=639

. Τότε θα είναι
k^2=676>n=639>m^2=625

k^2=676>n=639>m^2=625

, δεκτό.
Περίπτωση 2
k+m=17

k+m=17

k-m=3

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:
2k=20

2k=20

, που δίνει k=10

k=10

οι και συνεπώς m=7

m=7

, και,

n=7^2+14=49+14=63

. Τότε θα είναι:
k^2=100>n=63

k^2=100>n=63

, όμως το μικρότερο τέλειο τετράγωνο, μεγαλύτερο του

είναι το

(όχι το

100

.)

Τελικά n=639

n=639

.

Re: Ακέραιος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 30, 2020 11:27 pm

από Joaakim

Με μια δεύτερη ματιά παρατηρώ ότι τα δύο τέλεια τετράγωνα είναι διαδοχικοί, οπότε η λύση της άσκησης είναι αρκετά απλούστερη από αυτήν που έγραψα.

Re: Ακέραιος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 30, 2020 11:32 pm

από Mihalis_Lambrou

Joaakim έγραψε: Τετ Δεκ 30, 2020 11:27 pm Με μια δεύτερη ματιά παρατηρώ ότι τα δύο τέλεια τετράγωνα είναι διαδοχικοί, οπότε η λύση της άσκησης είναι αρκετά απλούστερη από αυτήν που έγραψα.

Με μια μικρή εξαίρεση. Αν ο ίδιος ο

είναι τέλειο τετράγωνο. τότε ο n+37

n+37

δεν είναι το επόμενο τέλειο τετράγωνο μετά τον n-14

n-14

, αλλά το μεθεπόμενο. Πάντως είναι εύκολο να αποκλίσεις αυτή την περίπτωση.