mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 13, 2021 10:36 pm**

find x
if $4^{3x+2}-3\cdot 4^{x+1}+4^{\log_{16}5}=1$

if $(1+\sqrt{2})^{2017}=a+b\sqrt{2}$
find the valuo a^2-2b^2

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 14, 2021 8:31 am**

thry έγραψε: Τετ Ιαν 13, 2021 10:36 pm find x
if $4^{3x+2}-3\cdot 4^{x+1}+4^{\log_{16}5}=1$

if $(1+\sqrt{2})^{2017}=a+b\sqrt{2}$
find the value

I hope this is neither a) homework for an assignment you have to hand in nor b) a question that you have
seen in another forum which you place here so you can take the solution we write to the other forum and present it as yours.

Otherwise I have great difficulty in explaining what attracts you to this forum since you cannot understand any of the other posts.
Surely other fora are more attractive to you than the present one.

For this reason I will give only hints to your problems and I would be happy if I see your solutions here. In Greek (official language here)

Ελπίζω οι ερωτήσεις να μην είναι ούτε α) παραδοτέα εργασία από ασκήσεις στο σπίτι αλλά ούτε β) ασκήσεις που είδες σε άλλο φόρουμ
τις οποίες τοποθετείς εδώ με σκοπό να πάρεις τις λύσεις μας και να τις παρουσιάσεις ως δικές σου στο άλλο φόρουμ.

Αλλιώς δυσκολεύομαι να κατανοήσω τι είναι αυτό που σε έλκει στο εδώ φόρουμ αφού δεν μπορείς, λόγω γλώσσας, να κατανοήσεις κανένα από τα υπόλοιπα ποστ. Σίγουρα υπάρχουν άλλα φόρα που είναι πιο ελκυστικά σε σένα από ότι το παρόν.

Γι' αυτό τον λόγο θα γράψω μόνο υποδείξεις, και θα χαρώ να δω τις λύσεις σου εδώ. Στα ελληνικά (η επίσημη γλώσσα εδώ).

a) First note $4^{\log_{16}5} = \sqrt 5$ . Νow set y= 4^x

and solve a cubic in

. One of the roots is $\frac {1}{4}(\sqrt 5 +1)$

b) You must assume a,b

are integers otherwise the question is wrong. With this addition, set $(1+\sqrt{2})^{n}=a_n+b_n\sqrt{2}$ . Note that a_1=b_1=1

. By writing $(1+\sqrt{2})^{n+1}= (1+\sqrt{2})^{n} (1+\sqrt{2})$ find a relationship between $a_{n+1}, \, b_{n+1}$ and $a_n,\,b_n$ . What do you observe about a_n^2-2b_n^2

and $a_{n+1}^2-2b_{n+1}^2$ ?

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 14, 2021 9:21 am**

Κύριε Μιχάλη καλημέρα! Εγώ προσωπικά δεν θα απαντούσα γιατί είναι ξεκάθαρο ότι είναι εργασία κάπου... Από εκεί και πέρα θα ήθελα μια διευκρίνηση γιατί μάλλον έχει κολλήσει το μυαλό μου πρωί πρωί

Το ότι τα a και b είναι ακέραιοι δεν είναι άμεσο απο το διωνυμικό ανάπτυγμα;
Επίσης πια δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι $(1-\sqrt{2})^{2017}=a-b\sqrt{2}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 14, 2021 10:38 am**

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 9:21 am Το ότι τα a και b είναι ακέραιοι δεν είναι άμεσο απο το διωνυμικό ανάπτυγμα;
Επίσης πια δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι $(1-\sqrt{2})^{2017}=a-b\sqrt{2}$ ;

Ναι, Νίκο, είναι σωστό αυτό και την έχω υπ' όψη αυτή την λύση. Την απέφυγα ακριβώς γιατί χρειάζεται το ανάπτυγμα του διωνύμου
το οποίο αμφιβάλλω αν γνωρίζει νεαρός. Άλλωστε είναι εκτός ύλης για τους δικούς μας μαθητές.

Επίσης η λύση που έγραψα έχει και ένα άλλο ενδιαφέρον για εμάς τους Έλληνες: Πρόκειται για τους πλευρικούς και διαμετρικούς αριθμoύς του Θέωνα του Σμυρναίου, σε αναδρομική σχέση. Τα a_n

είναι οι διαγώνιοι και b_n

οι πλευρές όλο και μεγαλύτερων τετραγώνων, που οδηγεί στο $\lim \frac {a_n}{b_n}=\sqrt 2$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 14, 2021 2:21 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 10:38 am
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 9:21 am Το ότι τα a και b είναι ακέραιοι δεν είναι άμεσο απο το διωνυμικό ανάπτυγμα;
Επίσης πια δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι $(1-\sqrt{2})^{2017}=a-b\sqrt{2}$ ;
Ναι, Νίκο, είναι σωστό αυτό και την έχω υπ' όψη αυτή την λύση. Την απέφυγα ακριβώς γιατί χρειάζεται το ανάπτυγμα του διωνύμου
το οποίο αμφιβάλλω αν γνωρίζει νεαρός. Άλλωστε είναι εκτός ύλης για τους δικούς μας μαθητές.

Επίσης η λύση που έγραψα έχει και ένα άλλο ενδιαφέρον για εμάς τους Έλληνες: Πρόκειται για τους πλευρικούς και διαμετρικούς αριθμoύς του Θέωνα του Σμυρναίου, σε αναδρομική σχέση. Τα είναι οι διαγώνιοι και οι πλευρές όλο και μεγαλύτερων τετραγώνων, που οδηγεί στο $\lim \frac {a_n}{b_n}=\sqrt 2$ .

Κύριε Μιχάλη μήπως έχετε κάτι να διαβάσω-ενημερωθώ σχετικά με αυτούς τους αριθμούς;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 14, 2021 9:53 pm**

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 2:21 pm έχετε κάτι να διαβάσω-ενημερωθώ σχετικά με αυτούς τους αριθμούς;

Νίκο, Ιστορίες των Μαθηματικών που περιέχουν πληροφορίες είναι π.χ.

Heath, History of Greek Mathematics, στον τόμο 1, σελ. 91-93. (Είναι ελεύθερο κοπιράιτ, οπότε δεν θα δυσκολευτείς να το βρεις, αλλιώς σου στέλνω αντίτυπο).

Νεγραπόντης, Φαρμάκη, Ιστορία Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, διάσπαρτο σε πολλά σημεία αλλά ιδίως σελ. 328-339 και όλο το Κεφάλαιο 8, σελίδες 355-400. Εκεί έχει σε βάθος μελέτη σε συνάφεια με την λεγόμενη ανθυφαίρεση,

Επίσης υπάρχουν οι πρωτότυπες πηγές, τα χωρία δηλαδή, αλλά σε αυτά αναφέρονται και παραπέμπουν τα δύο προγηγούμενα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 15, 2021 9:13 am**

Ευχαριστώ πολύ!!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 15, 2021 10:24 am**

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 9:21 am Το ότι τα a και b είναι ακέραιοι δεν είναι άμεσο απο το διωνυμικό ανάπτυγμα;
Επίσης πια δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι $(1-\sqrt{2})^{2017}=a-b\sqrt{2}$ ;

Νίκο, να κάνω μία διόρθωση. Νόμιζα ότι έλεγες "αν τα a και b είναι ακέραιοι δεν είναι άμεσο (εννοείται το αποτέλεσμα) απο το διωνυμικό ανάπτυγμα;". Και σε αυτη την περίπτωση ισχύει ότι $(1-\sqrt{2})^{2017}=a-b\sqrt{2}$ ;

Η απάντηση είναι ναι, αν τα a και b είναι ακέραιοι τότε είναι σωστά αυτά που γράφεις. Το πρόβλημα όμως είναι ότι τα τα a και b δεν είναι μοναδικά και όχι κατ' ανάγκη ακέραιοι. Για παράδειγμα

$(1+\sqrt{2})^{2017}=a+b\sqrt{2} = (a+c\sqrt 2) +(b-c) \sqrt 2$ για κάθε

.

Tώρα, αν υποθέσουμε ακόμη ότι τα a,b

είναι ακέραιοι, τότε είναι μοναδικοί και προκύπτουν από τον φυσιολογικό τρόπο μαζέματος των προσθετέων στο ανάπτυγμα. Συγκεκριμένα, να πάρουμε όλους τους προσθετέους που έχουν το $\sqrt 2$ ως κοινό παράγοντα και να τους γράψουμε ως $b\sqrt 2$ , και όλους τους υπόλοιπους να τους γράφουμε ως

. Τότε πράγματι τα a,b

είναι ακέραιοι (από το ανάπτυγμα του διωνύμου) και λόγω αρρητότητας του $\sqrt 2$ είναι μοναδικοί (άμεσο).

Γι' αυτό έγραψα στην απάντησή μου στον thry ότι πρέπει να υποθέσουμε ότι τα a,b

είναι ακέραιοι αλλιώς η άσκηση είναι λάθος. Υπόψη το

$\displaystyle{(a+c\sqrt 2)^2-2(b-c) ^2}$ μπορεί να πάρει άπειρες τιμές, οπότε δεν έχει νόημα η ερώτηση του thry να βρούμε την τιμή του a^2-2b^2

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 15, 2021 3:34 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 9:53 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 2:21 pm έχετε κάτι να διαβάσω-ενημερωθώ σχετικά με αυτούς τους αριθμούς;
Νίκο, Ιστορίες των Μαθηματικών που περιέχουν πληροφορίες είναι π.χ.

Heath, History of Greek Mathematics, στον τόμο 1, σελ. 91-93. (Είναι ελεύθερο κοπιράιτ, οπότε δεν θα δυσκολευτείς να το βρεις, αλλιώς σου στέλνω αντίτυπο).

Νεγραπόντης, Φαρμάκη, Ιστορία Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, διάσπαρτο σε πολλά σημεία αλλά ιδίως σελ. 328-339 και όλο το Κεφάλαιο 8, σελίδες 355-400. Εκεί έχει σε βάθος μελέτη σε συνάφεια με την λεγόμενη ανθυφαίρεση,

Επίσης υπάρχουν οι πρωτότυπες πηγές, τα χωρία δηλαδή, αλλά σε αυτά αναφέρονται και παραπέμπουν τα δύο προγηγούμενα.

Πω πω πώς το ξέχασα! Η πίεση δουλειάς γαρ.

Μια ωραιόταη και εμβριθέστατη μελέτη των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών είναι πολύ κοντά μας! Στο ίδιο το φόρουμ!

Βλέπε την σειρά των παρεμβάσεων του Γιώργου Μπαλόγλου εδώ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 16, 2021 8:49 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 3:34 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 9:53 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 2:21 pm έχετε κάτι να διαβάσω-ενημερωθώ σχετικά με αυτούς τους αριθμούς;
Νίκο, Ιστορίες των Μαθηματικών που περιέχουν πληροφορίες είναι π.χ.

Heath, History of Greek Mathematics, στον τόμο 1, σελ. 91-93. (Είναι ελεύθερο κοπιράιτ, οπότε δεν θα δυσκολευτείς να το βρεις, αλλιώς σου στέλνω αντίτυπο).

Νεγραπόντης, Φαρμάκη, Ιστορία Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, διάσπαρτο σε πολλά σημεία αλλά ιδίως σελ. 328-339 και όλο το Κεφάλαιο 8, σελίδες 355-400. Εκεί έχει σε βάθος μελέτη σε συνάφεια με την λεγόμενη ανθυφαίρεση,

Επίσης υπάρχουν οι πρωτότυπες πηγές, τα χωρία δηλαδή, αλλά σε αυτά αναφέρονται και παραπέμπουν τα δύο προγηγούμενα.
Πω πω πώς το ξέχασα! Η πίεση δουλειάς γαρ.

Μια ωραιόταη και εμβριθέστατη μελέτη των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών είναι πολύ κοντά μας! Στο ίδιο το φόρουμ!

Βλέπε την σειρά των παρεμβάσεων του Γιώργου Μπαλόγλου εδώ.

Coming soon to a theater near you που λέγανε και στις ΗΠΑ -- "έρχεται σύντομα σε κάποιον κινηματογράφο κοντά μας"

Ευχαριστούμε για το πολύ θετικό σχόλιο, και Καλό Σαββατοκύριακο σε όλους (έστω και χωρίς κινηματογραφική κλπ έξοδο)!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 17, 2021 1:01 pm**

gbaloglou έγραψε: Σάβ Ιαν 16, 2021 8:49 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 3:34 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 9:53 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Ιαν 14, 2021 2:21 pm έχετε κάτι να διαβάσω-ενημερωθώ σχετικά με αυτούς τους αριθμούς;
Νίκο, Ιστορίες των Μαθηματικών που περιέχουν πληροφορίες είναι π.χ.

Heath, History of Greek Mathematics, στον τόμο 1, σελ. 91-93. (Είναι ελεύθερο κοπιράιτ, οπότε δεν θα δυσκολευτείς να το βρεις, αλλιώς σου στέλνω αντίτυπο).

Νεγραπόντης, Φαρμάκη, Ιστορία Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, διάσπαρτο σε πολλά σημεία αλλά ιδίως σελ. 328-339 και όλο το Κεφάλαιο 8, σελίδες 355-400. Εκεί έχει σε βάθος μελέτη σε συνάφεια με την λεγόμενη ανθυφαίρεση,

Επίσης υπάρχουν οι πρωτότυπες πηγές, τα χωρία δηλαδή, αλλά σε αυτά αναφέρονται και παραπέμπουν τα δύο προγηγούμενα.
Πω πω πώς το ξέχασα! Η πίεση δουλειάς γαρ.

Μια ωραιόταη και εμβριθέστατη μελέτη των πλευρικών και διαμετρικών αριθμών είναι πολύ κοντά μας! Στο ίδιο το φόρουμ!

Βλέπε την σειρά των παρεμβάσεων του Γιώργου Μπαλόγλου εδώ.
Coming soon to a theater near you που λέγανε και στις ΗΠΑ -- "έρχεται σύντομα σε κάποιον κινηματογράφο κοντά μας"

Ευχαριστούμε για το πολύ θετικό σχόλιο, και Καλό Σαββατοκύριακο σε όλους (έστω και χωρίς κινηματογραφική κλπ έξοδο)!

Ο σωστός σύνδεσμος του Μιχάλη είναι https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=64&t=64467

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 17, 2021 1:13 pm**

gbaloglou έγραψε: Κυρ Ιαν 17, 2021 1:01 pm Ο σωστός σύνδεσμος του Μιχάλη είναι https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=64&t=64467

Γιώργο, ευχαριστώ. Το διόρθωσα.

mathematica.gr

2 problems

2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems

Re: 2 problems