mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2021 8:09 pm**

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι

,

με

πρώτο τέτοιοι ώστε:

1) $2^{p}+3^{p}=n^{m}$

2) $m^{p}-1=p^{n}$

Δεν είναι σύστημα είναι δύο άσκησεις

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2021 10:09 pm**

Καλησπέρα Διονύση! Το δεύτερο είναι άμεσο από το θεώρημα Mihailescu! Αξίζει όμως σίγουρα να γίνει και μια άλλη λύση με φυσιολογικά όπλα!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2021 10:31 pm**

Αλλιώς για το 2)
•Αν m=1

είναι αδύνατη
•Αν m=2

τότε

αλλά από το μικρό θεώρημα Fermat

: $2^p-1\equiv 1(modp)$ αδύνατο
•Αν p=2

$\Rightarrow (m-1)(m+1)=2^n\Leftrightarrow m-1=2^a,m+1=2^b$
$\Rightarrow (m+1)-(m-1)=2^b-2^a$ με b>a

$\Leftrightarrow 2=2^a(2^{b-a}-1)\Leftrightarrow a=1\Rightarrow (m,n,p)=(3,3,2)$
•Αν $m\geq 3$ και $p\geq 3$ από θ. Zsigmondy

(Έχοντας εξασφαλίσει τις εξαιρέσεις του παραπάνω) υπάρχει πρώτος

τέτοιος ώστε:
$q\mid m^p-1$ και $q\nmid m-1\Leftrightarrow q\mid p^n(1)$ και $q\nmid m-1$
Αλλά

πρώτος $\stackrel{(1)}{\Rightarrow} q=p$
$\Rightarrow p\nmid m-1$ ενώ $m-1\mid m^n-1$
$\Leftrightarrow p\nmid m-1(2)$ ενώ $m-1\mid p^n(3)$
Από την (3)

παίρνουμε: m-1=p^c

(διότι $m-1\neq 1$ ) άτοπο από την (2)

Έτσι

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 23, 2021 10:49 pm**

2nisic έγραψε: Σάβ Ιαν 23, 2021 8:09 pm Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι ,, με πρώτο τέτοιοι ώστε:

1) $2^{p}+3^{p}=n^{m}$

2) $m^{p}-1=p^{n}$

Δεν είναι σύστημα είναι δύο άσκησεις