mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm**

Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση

$31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 02, 2021 10:23 pm**

Αν $x\geq 2$ τότε LHS> RHS

Άρα

και έχω:

Αν

τότε

Αν

τότε

Άρα

και έχω:

......

Μοναδική λύση η (x,y, z,t):(1,2,2,4)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 03, 2021 10:15 am**

Τα λόγκο νομίζω δεν χρειάζονται. Περιμένουμε και μια πιο ευφάνταστη λύση

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 04, 2021 9:54 pm**

έγραψε:Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση

$31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right)$ .

Αν και "άσχημη" στην μορφή η εξίσωση αυτή φτιάχτηκε πάνω σε όμορφη ιδέα.

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{40}{31} = x + \dfrac{1}{ y + \dfrac{1}{ z + \dfrac{1}{t} } } }$

Η ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα του αριθμού $\dfrac{40}{31}$ είναι [1; 3, 2, 4]

και επειδή είναι μοναδική για κάθε αριθμό, η λύση της εξίσωσης είναι (x,y,z,t) = (1,3,2,4)

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 05, 2021 1:40 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Τετ Αύγ 04, 2021 9:54 pm Αν και "άσχημη" στην μορφή η εξίσωση αυτή φτιάχτηκε πάνω σε όμορφη ιδέα.

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{40}{31} = x + \dfrac{1}{ y + \dfrac{1}{ z + \dfrac{1}{t} } } }$

Η ανάπτυξη σε συνεχές κλάσμα του αριθμού $\dfrac{40}{31}$ είναι και επειδή είναι μοναδική για κάθε αριθμό, η λύση της εξίσωσης είναι .

Σε πολύ ωραία ιδέα βασίζεται η άσκηση!!!!

Δε νομίζω ότι θα το σκεφτόμουν ποτέ....

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 05, 2021 3:05 pm**

bouzoukman έγραψε: Πέμ Αύγ 05, 2021 1:40 pm Σε πολύ ωραία ιδέα βασίζεται η άσκηση!!!! Δε νομίζω ότι θα το σκεφτόμουν ποτέ....

Για να μην παρεξηγούμαι ούτε ή άσκηση, ούτε η λύση είναι δικές μου. Νομίζω την είχα δει σε παλιό τεύχος του περιοδικού "Μαθηματικά στο σχολείο".

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 05, 2021 7:22 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Φεβ 02, 2021 9:03 pm Να λύσετε στους θετικούς ακέραιους την εξίσωση
$31 \left ( xyzt +xy+xt+zt+1 \right ) = 40 \left (yzt +y+t \right)$ .

Όταν έχουμε «διοφαντική» με πολλές μεταβλητές ένας τρόπος - μεθοδολογική ανάλυση είναι μία πορεία επίλυσης που δημιουργεί περιορισμούς σε συνδυασμό με το ότι το σύνολο των ακεραίων είναι διακριτό, χωρίς βέβαια να επιτυγχάνει πάντοτε.

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: $31\left( {zt + 1} \right) = \left( {yz + y + t} \right)\left( {40 - 31x} \right),$ οπότε $0 < x \leqslant \frac{{40}}{{31}} \Rightarrow x = 1.$
Έτσι παίρνουμε $\left( {31 - 9y} \right)\left( {3z + 1} \right) = 9t,$ οπότε προκύπτει $0 < y \leqslant \frac{{31}}{9}\;{\text{\dot \eta }}\;y \in \left\{ {1,2,3} \right\}.$
Αν y=1