mathematica.gr

Έστω : . Αν μια συνάρτηση είναι γν. αύξουσα σε καθένα

από τα διαστήματα και , τότε :

α) Υπάρχει περίπτωση η να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , στο

β) Υπάρχει περίπτωση η να παρουσιάζει ολικό μέγιστο , στο .

Σε κάθε ερώτημα από τα παραπάνω , αν η απάντησή σας είναι όχι , δικαιολογήστε την .

Αν είναι ναι , δώστε παράδειγμα .

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 24, 2021 11:55 am Έστω : . Αν μια συνάρτηση είναι γν. αύξουσα σε καθένα

από τα διαστήματα και , τότε :

α) Υπάρχει περίπτωση η να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , στο

β) Υπάρχει περίπτωση η να παρουσιάζει ολικό μέγιστο , στο .

Σε κάθε ερώτημα από τα παραπάνω , αν η απάντησή σας είναι όχι , δικαιολογήστε την .

Αν είναι ναι , δώστε παράδειγμα .

H απάντηση μου είναι λάθος. Δείτε τα παρακάτω ποστ. Το αφήνω για να μην μένουν μετέωρα τα σωστά σχόλια που έπονται.
Ευχαριστώ όλους για τηνεπισήμανση.

α) όχι

Αν στο η είχε ολικό ελάχιστο τότε σε μία περιοχή του αριστερά του οι τιμές της θα ήταν μεγαλύτερες ή ίσες από . Όμως αυτό δεν γίνεται γιατί η συνάρτηση εκεί είναι γνήσια αύξουσα (άρα οι τιμές της είναι γνήσια μικρότερες από το ).

β) όχι.

Όμοια.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Φεβ 24, 2021 2:29 pm

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 24, 2021 11:55 am Έστω : . Αν μια συνάρτηση είναι γν. αύξουσα σε καθένα

από τα διαστήματα και , τότε :

α) Υπάρχει περίπτωση η να παρουσιάζει ολικό ελάχιστο , στο

β) Υπάρχει περίπτωση η να παρουσιάζει ολικό μέγιστο , στο .

Σε κάθε ερώτημα από τα παραπάνω , αν η απάντησή σας είναι όχι , δικαιολογήστε την .

Αν είναι ναι , δώστε παράδειγμα .

α) όχι

Αν στο η είχε ολικό ελάχιστο τότε σε μία περιοχή του αριστερά του οι τιμές της θα ήταν μεγαλύτερες ή ίσες από . Όμως αυτό δεν γίνεται γιατί η συνάρτηση εκεί είναι γνήσια αύξουσα (άρα οι τιμές της είναι γνήσια μικρότερες από το ).

β) όχι.

Όμοια.

Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι απαντήσατε λάθος στο α).
Αν πάρουμε την για και τότε η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το .
Χρειαζόμαστε συνέχεια για να αποφανθούμε.

Το ίδιο και για το β)
Έστω για και για και τέλος .Η έχει ολικό μέγιστο στο .

Θανάση το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ποιο είναι; Δηλαδή περιέχει το ;

Η διατύπωση είναι αυτή , δηλαδή δεν δίνω την πληροφορία αν το ανήκει στο πεδίο ορισμού .

Ο λύτης πρέπει να σκεφθεί αν η εκφώνηση επιτρέπει ή μη την παρουσία του στο .

SS
εχει ολ μεγιστο στο 0 και ειναι γν αυξουσα

SS
εχει ολ ελάχιστο στο 0 και ειναι γν αυξουσα

KARKAR έγραψε: Τετ Φεβ 24, 2021 7:28 pm Η διατύπωση είναι αυτή , δηλαδή δεν δίνω την πληροφορία αν το ανήκει στο πεδίο ορισμού .

Ο λύτης πρέπει να σκεφθεί αν η εκφώνηση επιτρέπει ή μη την παρουσία του στο .

Αφού μιλάει για ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο στο , προφανώς πρέπει το να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

stranger έγραψε: Τετ Φεβ 24, 2021 6:25 pm
Κύριε Λάμπρου νομίζω ότι απαντήσατε λάθος στο α).
Αν πάρουμε την για και τότε η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το .
Χρειαζόμαστε συνέχεια για να αποφανθούμε.

Κωνσταντίνε, έχεις δίκιο.

Παρανάγνωσα την άσκηση. Απάντησα σε άλλη ερώτηση.

Συνοψίζοντας: Η απάντηση στην αρχική άσκηση είναι καταφατική και στα δύο ερωτήματα. Ήδη έχουν δοθεί παραδείγματα αλλά δύο πιο απλά είναι τα εξής

α) για .

Τώρα, για έχουμε παράδειγμα για την α) ενώ για έχουμε παράδειγμα για την β).

β) Εναλλακτικά, η για .

Όπως στην προηγούμενη, για έχουμε παράδειγμα για την α) ενώ για έχουμε παράδειγμα για την β).

Παρακάτω τα γραφήματα του ζεύγους στο α) και ξανά, του β) (μοιάζουν).

Βάζω κι αυτό το παράδειγμα για να τονίσω το εξής . Επειδή δίνεται η γνησίως αύξουσα στο

αυτό δεν αποκλείει το να είναι η γνησίως αύξουσα στο .

Αν υποθέσουμε συνέχεια στο ποιες είναι οι απαντήσεις στο α) και στο β);

ΘΕΩΡΗΜΑ σελίδας 144

Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του ,

στο οποίο όμως η είναι συνεχής.

i) Αν στο και στο ), τότε το ) είναι τοπικό μέγιστο της .

ii) Αν στο και στο , τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της .

iii) Aν η διατηρεί πρόσημο στο , τότε το δεν είναι τοπικό ακρότατο

και η είναι γνησίως μονότονη στο . ( Το της εκφώνησης είναι το )

Η απάντηση για μια κατηγορία συναρτήσεων ...