mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2021 8:19 pm**

: Τρία ημικύκλια.png (20.13 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Για τα συνευθειακά σημεία A, B , C

είναι :

. Γράφουμε τα τρία ημικύκλια και θεωρούμε

σημείο

της κοινής εφαπτομένης των δύο μικρότερων . Η

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο

, ενώ

η

μεγάλο και μεσαίο στα T , Q

αντίστοιχα . Τέλος η

ξανατέμνει το μικρό ημικύκλιο στο

.

α) Δείξτε ότι LQ=BT

.

β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου LBQT

, αν

και

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2021 10:09 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 27, 2021 8:19 pm Τρία ημικύκλια.pngΓια τα συνευθειακά σημεία είναι : . Γράφουμε τα τρία ημικύκλια και θεωρούμε

σημείο της κοινής εφαπτομένης των δύο μικρότερων . Η τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο , ενώ

η μεγάλο και μεσαίο στα αντίστοιχα . Τέλος η ξανατέμνει το μικρό ημικύκλιο στο .

α) Δείξτε ότι .

β) Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου , αν και .

: Τρία ημικύκλια_a.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Επειδή , $SQ \cdot SC = S{B^2} = SP \cdot SA$ το τετράπλευρο APQC

είναι εγγράψιμο

Έτσι τώρα κι αφού το τετράπλευρο APLB

είναι εγγεγραμμένο θα έχω:

: Τρία ημικύκλια_b.png (22.3 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{C_{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ και άρα το τρίγωνο BLQ

είναι ορθογώνιο και αναγκαστικά

Αφού AL//BQ

, η

θα διέρχεται από το

, με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο

TLBQ

να είναι ορθογώνιο , οπότε οι διαγώνιές του $BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LQ$ είναι ίσες .

Για να έχω τώρα μέγιστο ορθογώνιο σε εμβαδόν αρκεί να έχω μέγιστες διαστάσεις

Δηλαδή τα $L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ να είναι μέσα των ημικυκλίων ( όταν είναι το ένα θα είναι προφανώς και το άλλο ).

$\boxed{{{\left( {LBQT} \right)}_{\max }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{b\sqrt 2 }}{2} = \frac{{ab}}{2}}$

mathematica.gr

Τρία ημικύκλια

Τρία ημικύκλια

Re: Τρία ημικύκλια