mathematica.gr • Πολυώνυμα

Σελίδα 1 από 1

Πολυώνυμα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 10, 2021 6:13 pm

από mick7

Έστω

Q(x)

πολυώνυμο 2ου βαθμού με ακέραιους συντελεστές που ικανοποιεί την

$\displaystyle Q(Q(x))-(Q(x))^2=x^2+x+2022$

για όλα τα πραγματικά $\displaystyle x$

Να βρεθεί το $\displastyle Q(1)$

Διορία 72 ώρες

Re: Πολυώνυμα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 15, 2021 5:28 pm

από Demetres

Λύση 1η

Έστω Q(x) = ax^2 + bx + c

Q(x) = ax^2 + bx + c

.

Κοιτάζοντας το Q(Q(x)) - Q(x)^2

Q(Q(x)) - Q(x)^2

βλέπουμε ότι ο συντελεστής του x^4

x^4

ισούται με a^3 - a^2 = a^2(a-1)

a^3 - a^2 = a^2(a-1)

. Όμως ο συντελεστής είναι ίσος με

και αφού $a \neq 0$ , τότε a=1

a=1

. Τώρα έχουμε

$\displaystyle Q(Q(x)) - Q(x)^2 = Q(x)^2 + bQ(x) + c - Q(x)^2 = bQ(x) + c = bx^2 + b^2x + bc+c = x^2+x+2022$

Συγκρίνοντας συντελεστές, πρέπει b=1

b=1

και

c = 1011

. Άρα

Q(1) = a+b+c = 1013

.

Λύση 2η

Παραγωγίζοντας έχουμε

$\displaystyle Q'(x)[Q'(Q(x)) - 2Q(x)] = 2x+1$

Επειδή το Q'(x)

Q'(x)

έχει βαθμό 1, το Q'(Q(x)) - 2Q(x)

Q'(Q(x)) - 2Q(x)

πρέπει να είναι σταθερό πολυώνυμο. Επειδή επιπλέον το Q'(x)

Q'(x)

θα έχει ακέραιους συντελεστές οι μόνες πιθανές περιπτώσεις είναι

(α) Q'(x) = 2x+1, Q'(Q(x)) - 2Q(x) = 1

Q'(x) = 2x+1, Q'(Q(x)) - 2Q(x) = 1

(β)

Q'(x) = -(2x+1), Q'(Q(x)) - 2Q(x) = -1

Η περίπτωση (β) δίνει -1 = Q'(Q(x)) - 2Q(x) = -2Q(x) - 1 - 2Q(x)

-1 = Q'(Q(x)) - 2Q(x) = -2Q(x) - 1 - 2Q(x)

από το οποίο παίρνουμε Q(x) = 0

Q(x) = 0

, άτοπο.

Άρα είμαστε στην περίπτωση (α). Τότε Q(x) = x^2 + x + c

Q(x) = x^2 + x + c

για κάποια σταθερά

. Τότε
$\displaystyle 2022 = Q(Q(0)) - Q(0)^2 = Q(c) - c^2 = 2c$
Άρα c = 1011, Q(x) = x^2+x+1011

c = 1011, Q(x) = x^2+x+1011

και

Q(1) = 1013

.