mathematica.gr

1) Να δείξετε σε δύο όμοια τρίγωνα με μία κατακορυφήν γωνία, οι απέναντί τους πλευρές είναι παράλληλες μόνο εάν οι αντίστοιχα ανάλογες πλευρές βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
2) Να δείξετε ότι σε δύο ίσα τρίγωνα με μία κατακορυφήν γωνία δημιουργούν είτε τραπέζιο είτε παραλληλόγραμμο με κορυφές τις κορυφές τους εκτός της κορυφής της κατακορυφήν γωνίας.
3) Να δείξετε ότι σε δύο ίσα τρίγωνα με μία κατακορυφήν που δημιουργούν παραλληλόγραμμο, τα ίχνη των υψών τους που ξεκινούν από την κοινή τους κορυφή και η κορυφή αυτή είναι συνευθειακά.
4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Τα παραπάνω κατά τη γνώμη μου είναι πολύ σημαντικά λήμματα που χρησιμεύουν αρκετά στις ασκήσεις γεωμετρίας της Γ' Γυμνασίου (της τάξης μου) και της Α' Λυκείου.

Lymperis Karras έγραψε: Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am 1) Να δείξετε σε δύο όμοια τρίγωνα με μία κατακορυφήν γωνία, η απέναντί τους πλευρές είναι παράλληλες.

Δεν τα διάβασα όλα ακόμη, αλλά το 1) δεν ισχύει γενικά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Lymperis Karras έγραψε: Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am
4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Θα δώσω μία απόδειξη ανεξάρτητη από την θεωρία παραλληλογράμμων (όπως έχουμε συνηθίσει τα τελευταία χρόνια). άρα υπάρχει σημείο της ώστε Άρα,

Αλλά,

Lymperis Karras έγραψε: Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am

4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Lymperis Karras έγραψε: Τετ Μαρ 17, 2021 9:58 am
4) Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Αν η ορθή, φέρνουμε την μεσομάθετο της . Έστω ότι τέμνει την υποτείνουσα στο , το οποίο αναγκαστηκά είναι το μέσον της υποτείνουσας , δηλαδή διάμεσος.

Το είναι ισοσκελές, λόγω μεσοκαθέτου. Το είναι επίσης ισοσκελές γιατί οι δύο γωνίες παρά την βάση του είναι ίσες μεταξύ τους καθώς η καθεμία είναι συμπληρωματική των ίσων γωνιών του . Τελικά .