mathematica.gr • Περιοδική συνάρτηση

Σελίδα 1 από 1

Περιοδική συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 03, 2010 12:55 pm

από s.kap

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνεχής και περιοδική συνάρτηση με περίοδο T>0

T>0

. Να αποδειχθεί ότι
α) Αν ο

είναι άρρητος και

μια αποιαδήποτε τιμή της

, τότε υπάρχει ακολουθία ακεραίων x_n

x_n

τέτοια ώστε $f(x_n) \to l$ .
β) Αν ο

είναι ρητός,

μια αποιαδήποτε τιμή της

και

ένας οποιοσδήποτε θετικός άρρητος, τότε υπάρχει ακολουθία ακεραίων x_n

x_n

τέτοια ώστε $f(mx_n) \to l$ .
Φιλικά

Re: Περιοδική συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 03, 2010 4:18 pm

από nsmavrogiannis

Σπύρο και λοιποί φίλοι γειά σας.
α) Είναι γνωστό (Θεώρημα του Kronecker στο οποίο έχουμε ξανά αναφερθεί ότι αν ο

είναι θετικός άρρητο τότε η ακολουθία na-[na]

na-[na]

([.] το ακέραιο μέρος) είναι πυκνή στο [0,1]

[0,1]

. Θεωρούμε τον άρρητο 1/T

1/T

οπότε η ακολουθία n(1/T)-[n(1/T)]

n(1/T)-[n(1/T)]

είναι πυκνή στο [0,1]

[0,1]

και επομένως η ακολουθία n-T[n(1 / T)]

n-T[n(1 / T)]

είναι πυκνή στο [0,T]

[0,T]

. 'Αρα υπάρχει υπακολουθία x_n

x_n

ώστε ακολουθία $x_{n}-T[x_{n}(1/T)]$ να συγκλίνει στο x_0

x_0

με $f\left( x_{0}\right) =\ell$ . Τότε λόγω συνεχείας h $f(x_{n}-T[x_{n}(1/T)])$ συγκλίνει στο $\ell$ και λόγω περιοδικότητας και η $f(x_{n}$ συγκλίνει στο $\ell$ .
Ανάλογα αντιμετωπίζεται και το β).
Μαυρογιάννης

Re: Περιοδική συνάρτηση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 03, 2010 7:14 pm

από s.kap

Νίκο σε ευχαριστώ. Την ίδια λύση έχω. Για την ιστορία η άσκηση είναι του T. Andrescu
Φιλικά