mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 22, 2021 8:18 pm**

Α) Αν μια συνάρτηση

, είναι δις παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\Delta$ , δεν παίρνει αρνητικές τιμές

και είναι κυρτή στο $\Delta$ , μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την συνάρτηση : $g(x)=\sqrt{f(x)}$ ;

Β) i) Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{3x^2-2x^3}$ .

ii) Βρείτε το σημείο τομής

, της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο με τετμημένη $x_{2}=\dfrac{1}{2}$ , με τον x'x

και βρείτε το σημείο επαφής

, της άλλης εφαπτομένης της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από το

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 22, 2021 9:50 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 22, 2021 8:18 pm Α) Αν μια συνάρτηση , είναι δις παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\Delta$ , δεν παίρνει αρνητικές τιμές

και είναι κυρτή στο $\Delta$ , μπορούμε να πούμε το ίδιο και για την συνάρτηση : $g(x)=\sqrt{f(x)}$ ;

Β) i) Μελετήστε πλήρως την συνάρτηση : $f(x)=\sqrt{3x^2-2x^3}$ .

ii) Βρείτε το σημείο τομής , της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο με τετμημένη $x_{2}=\dfrac{1}{2}$ , με τον

και βρείτε το σημείο επαφής , της άλλης εφαπτομένης της $C_{f}$ , η οποία διέρχεται από το .

Απαντώ μόνο στο Α γιατί έχω μία περίεργη απάντηση. Αφήνω το Β για άλλους, δεδομένου ότι είναι τύπου textbook, οπότε ας το δουν οι μαθητές που έχουν να ωφεληθούν από αυτό.

Πες λοιπόν ότι για κάθε θετική κυρτή

, η $\sqrt f$ είναι επίσης κυρτή. Εφαρμόζω εκ νέου αυτό, οπότε θα είναι κυρτή και η $\sqrt {\sqrt f}$ . Χμμμ, να όμως που η κυρτή x^2

στο

, οδηγεί μέσω ρίζας της ρίζας στη $\sqrt x$ , που βέβαια είναι κοίλη. Τελειώσαμε. Το θεώρημα δεν ισχύει.

Αν θέλουμε συγκεκριμένο παράδειγμα συνάρτησης που χαλάει το θεώρημα, χωρίς να περάσουμε από την ρίζα της ρίζας, τότε η $x^{\frac {3}{2}$ στο [0,1]

μας κάνει. Η ρίζα της $x^{\frac {3}{4}$ είναι βέβαια κοίλη. Το βλέπουμε εύκολα από τα (γνωστά) γραφήματά τους αλλά και με δεύτερη παράγωγο είναι άμεσο.

mathematica.gr

Ενδιαφέρουσα μελέτη

Ενδιαφέρουσα μελέτη

Re: Ενδιαφέρουσα μελέτη