mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm**

Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2$ , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 28, 2021 1:18 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2$ , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη

Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε:
$\sqrt{x-2}+4x=x^{2}+4 \Rightarrow \sqrt{x-2}=(x-2)^{2}$
Θέτουμε τώρα για ευκολία: x-2=y

, οπότε:
$\sqrt{y}=y^{2} \Rightarrow y=y^{4}\Rightarrow$
$y(y^{3}-1)=0 \Rightarrow y=0,1 \Rightarrow$
$\Rightartow x-2=0,1 \Rightarrow x=2,3$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 28, 2021 5:13 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2$ , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη

Εύκολα $\displaystyle \sqrt {x - 2} = {(x - 2)^2}$ με φανερή ρίζα $\boxed{x=2}$ και για x>2,

$\displaystyle \ln \sqrt {x - 2} = \ln {(x - 2)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln (x - 2) = 2\ln (x - 2) \Leftrightarrow \ln (x - 2) = 0 = \ln 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=3}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 29, 2021 9:54 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 28, 2021 12:39 pm Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2$ , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη

α) (Όμοιος τρόπος με παραπάνω) Για $x\geq2$ έχουμε τις ισοδυναμίες:

$\sqrt{x-2}+4x=x^{2}+4 \Leftrightarrow \sqrt{x-2}=(x-2)^{2} \Leftrightarrow x-2=(x-2)^4 \Leftrightarrow$
$x^4-8x^3+24x^2-33x+18=0 \Leftrightarrow (Horner)$
$(x-2)(x-3)(x^2+3x+3)=0 \Leftrightarrow x=2, x=3$

β) Πάλι για $x\geq2$ έχουμε τις ισοδυναμίες:

$\sqrt{x-2}+4x=x^{2}+4 \Leftrightarrow \sqrt{x-2}=(x-2)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x-2}= \sqrt{x-2}^{4} \Leftrightarrow$
$\sqrt{x-2} - \sqrt{x-2}^{4} =0 \Leftrightarrow \sqrt{x-2}(1 - \sqrt{x-2}^{3}) =0 \Leftrightarrow$
$\sqrt{x-2}=0 \; \; \acute{\eta } \;\; \sqrt{x-2}^{3}=1 \Leftrightarrow x=2 \;\; \acute{\eta } \;\; x=3$