mathematica.gr • Ανίσωση πολύτροπη

Σελίδα 1 από 1

Ανίσωση πολύτροπη

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 29, 2021 11:07 am

από KARKAR

Να λυθεί η ανίσωση : (x+e^2)lnx<4x

(x+e^2)lnx<4x

Re: Ανίσωση πολύτροπη

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 29, 2021 1:44 pm

από R BORIS

$\displaystyle{f(x)=(x+e^2)lnx-4x}$

$\displaystyle{f'(x)=lnx+1+e^2/x-4}$

θέτω $\displaystyle{e^2/x=y}$ τότε $\displaystyle{f'(x)=2-lny+y-3=y-1-lny\ge 0}$

$\displaystyle{f \uparrow }$ kai $\displaystyle{f(e^2)=0}$ αρα για $\displaystyle{x>e^2}$ εχουμε το ζητούμενο

Re: Ανίσωση πολύτροπη

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μάιος 29, 2021 2:32 pm

από george visvikis

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 29, 2021 11:07 am Να λυθεί η ανίσωση :

Έστω $f(x)=(x+e^2)\ln x-4x, x>0$ με $\displaystyle f'(x) = \ln x - 3 + \frac{{{e^2}}}{x}$ και $\displaystyle f''(x) = \frac{{x - {e^2}}}{{{x^2}}}$

Εύκολα προκύπτει ότι η

έχει στο

x_0=e^2

ολικό ελάχιστο το

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα και έχει

μοναδική ρίζα το x_0,

x_0,

δηλαδή $\boxed{f(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < {e^2}}$

Re: Ανίσωση πολύτροπη

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 30, 2021 1:18 am

από Μιχάλης Τσουρακάκης

KARKAR έγραψε: Σάβ Μάιος 29, 2021 11:07 am Να λυθεί η ανίσωση :

Για την

f(x)=(x+e^2)lnx-4x

με

x>0

είναι $f'(x)=lnx+ \dfrac{x+e^2}{x}-4$ και $f''(x)= \dfrac{x-e^2}{x^2}$ με

μοναδικό σημείο καμπής A(e^2,0)

A(e^2,0)

Είναι κυρτή στο $[e^2,+ \propto )$ και κοίλη στο (0,e^2]

(0,e^2]

με εφαπτόμενη στο

την

y=0

συνεπώς

f(x)<0

στο

(0,e^2)