mathematica.gr

Βρείτε τον τετραψήφιο αριθμό : τον οποίο αν τον προσθέσουμε με τον εαυτό του 4 φορές θα βρούμε τον τετραψήφιο αριθμό :

2178 * 4 = 8712 (μοναδική λύση)

Λύση:

abcd * 4 = dcba. (Θεωρούμε τα a,b,c,d διαφορετικά μεταξύ τους)

Το a πρέπει να είναι 1 ή 2, γιατί αν είναι τότε ο αριθμός (abcd*4) δε θα είναι τετραψήφιος. Το 1 απορρίπτεται γιατί δεν υπάρχει πολλαπλάσιο του 4 (4d) που να τελειώνει σε 1. Έτσι το a θα είναι 2.

2bcd * 4 = dcb2.

Το 4d πρέπει να τελειώνει σε 2. Οι μόνες τιμές του d που ικανοποιούν την συνθήκη είναι οι 3 και 8. Το 3 απορρίπτεται γιατί ο αριθμός (2bcd*4) θα είναι μεγαλύτερος του 8000, οπότε το d θα είναι 8.

2bc8 * 4 = 8cb2

Ο αριθμός 4b πρέπει να είναι μονοψήφιος και αυτό ισχύει για b=1 ή 2. Εφόσον a=2 τότε το b θα είναι 1.

21c8 * 4 = 8c12

Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό και στο 2ο βήμα εμφανίζεται η ποσότητα 4*c+3 η οποία πρέπει να τελειώνει σε 1. Αυτό ισχύει για c=2 ή 7. Εφόσον a=2 τότε το c θα είναι 7.

2178 * 4 = 8712

ο τετραψηφιος abcd αν παρουμε τα ψηφια του σαν μονοψηφιους ακεραιους ισουτε με 1000a+100b+10c+d και το τετραπλασιο ειναι 4000a+400b+40c+4d = 1000d+100c+10b+a.
συμπερασματα: ο a ειναι ακεραιος απο πολ/σιο του 4 ,αρα αρτιος.ομως το τετραπλασιο του πρεπει να ειναι μικροτερο του 10 γιατι οταν πολ/στει ο αρχικος , δεν δινει μεγαλυτερο απο τετραψηφιο αριθμο. αρα ειναι το 2 και ο d μπορει να ειναι το 8 η 9 απο τον τετραπλασιασμο των χιλιαδων , η 3 η 8 για να δινει στις μοναδες δυο απο τον τετραπλασιασμο. αρα ειναι 8.
Αν βαλουμε τις τιμες αυτες παραπανω εχουμε 8000+400b+40c+32 = 8000+100c+10b+2 => 390b +30 = 60c =>
c = (39b+3)/6 και επειδη ειναι ακεραιοι το b πρεπει να ειναι περιττος. για b=1 εχουμε c=7. για b =3 c =20 ατοπο γιατι ειναι μονοψηφιος. για μεγαλυτερες τιμες του b ομοια εχουμε ατοπο.

Οποτε ο ζητουμενος αριθμος ειναι ο 2178.

Μιχάλη και Φώτη ...