mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 06, 2021 11:12 am**

: Ισαπέχουν από το ορθόκεντρο.png (7.29 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Στο τρίγωνο ABC

το

είναι ύψος και AD=BC.

Να δείξετε ότι

τα μέσα M,N

των

ισαπέχουν από το ορθόκεντρο

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 06, 2021 1:56 pm**

george visvikis έγραψε: Τρί Ιούλ 06, 2021 11:12 am Ισαπέχουν από το ορθόκεντρο.png
Στο τρίγωνο το είναι ύψος και Να δείξετε ότι

τα μέσα των ισαπέχουν από το ορθόκεντρο

Ας είναι

ένα ακόμη ύψος του $\vartriangle ABC$ .

Θέτω: $HM = x\,\,,\,\,HN = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DH = m\,\,,\,\,DM = k$ . Επειδή $\vartriangle DAC \approx \vartriangle DBH$ θα έχω:

$\boxed{\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{DC}}{{DH}}\,\,\left( { = \frac{{AC}}{{BH}}} \right) \Rightarrow DA \cdot DH = DB \cdot DC}$

Έτσι λόγω των πιο πάνω μετασχηματισμών έχω:

: Ισαπέχουν απο το ορθόκεντρο_ok.png (15.62 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

$\left\{ \begin{gathered} a = 2\left( {y + m} \right) \hfill \\ am = \left( {\frac{a}{2} - k} \right)\left( {\frac{a}{2} + k} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 2\left( {y + m} \right) = \left( {y + m - k} \right)\left( {y + m + k} \right) \Rightarrow {y^2} = {m^2} + {k^2}$

και λόγω του Π. Θ. στο $\vartriangle DMH$ έχω : $\boxed{x = y}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 07, 2021 9:45 am**

Χρησιμοποιώντας την σχέση του Νίκου, ότι $DB \cdot DC = DA \cdot DH$ , ότι $DB \cdot DC = BM^2 - DM^2$ και θέτοντας BD=x

,

, βρίσκω

$\displaystyle{ \begin{aligned} & DA \cdot DH = BM^2 - DM^2 \rightarrow \cr & \aplha y = {\alpha^2 \over 4} - \left( {\alpha \over 2} - x \right)^2 \rightarrow y = {\alpha \over 4} - {1 \over \alpha} \left( {\alpha \over 2} - x \right)^2 \cr \end{aligned} }$

Δηλαδή ο γ.τ. του

είναι παραβολή και ως εκ τούτου ισαπέχει από την σταθερή ευθεία $y=\alpha / 2$
και το σημείο $M(\alpha / 2, 0)$ (εστία της παραβολής).

mathematica.gr

Ισαπέχουν από το ορθόκεντρο

Ισαπέχουν από το ορθόκεντρο

Re: Ισαπέχουν από το ορθόκεντρο

Re: Ισαπέχουν από το ορθόκεντρο