mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 07, 2021 4:37 pm**

Να βρεθεί ο μέγιστος όγκος κυλίνδρου ο οποίος είναι εγγεγραμμένος σε σφαίρα

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 07, 2021 6:30 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 07, 2021 4:37 pm Να βρεθεί ο μέγιστος όγκος κυλίνδρου ο οποίος είναι εγγεγραμμένος σε σφαίρα .

Έστω

το ύψος του κυλίνδρου και

η ακτίνα της βάσης. Είναι 0<x<R

και

: Κύλινδρος σε σφαίρα.png (14.18 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} V = 2\pi {r^2}x\\ {r^2} = {R^2} - {x^2} \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{V(x) = 2\pi {R^2}x - 2\pi {x^3}}$

$\displaystyle V'(x) = 2\pi ({R^2} - 3{x^2}).$ Άρα ο όγκος του κυλίνδρου μεγιστοποιείται για

$\boxed{x = \frac{R}{{\sqrt 3 }}}$ και γίνεται ίσος με $\boxed{{V_{\max }} = \frac{{4\pi {R^3}\sqrt 3 }}{9}}$

ΥΓ. Το σχήμα δεν είναι σωστό, αλλά δεν ξέρω πώς να φτιάξω τον κύλινδρο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 07, 2021 6:35 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 07, 2021 4:37 pm Να βρεθεί ο μέγιστος όγκος κυλίνδρου ο οποίος είναι εγγεγραμμένος σε σφαίρα .

Αρκετά κοινή άσκηση.

Αν

η ακτίνα της σφαίρας και

το ύψος του κυλίνδρου, εύκολα βλέπουμε ότι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι $r=\sqrt {R^2-h^2}$ . Άρα έχει όγκο $\pi r^22h=2\pi h(R^2-h^2)$ . To μέγιστο αυτού βγαίνει απλά με διάφορους τρόπους, με Απειροστικό ή χωρίς, και λαμβάνεται όταν $h= R \frac {\sqrt 3}{3}$ .

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος, και με σχήμα.

mathematica.gr

Κύλινδρος σε σφαίρα

Κύλινδρος σε σφαίρα

Re: Κύλινδρος σε σφαίρα

Re: Κύλινδρος σε σφαίρα