mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2021 6:27 pm**

: Κι άλλο σταθερό.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2R

και

ένα τυχόν σημείο του. Η κάθετη από το

στην

τέμνει το

ημικύκλιο στο

και έστω

το μέσο του NP.

Αν

είναι η προβολή του

στην

και

το έγκεντρο του

τριγώνου ONE,

να δείξετε ότι το μήκος του τμήματος

είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση του

24 ώρες για μαθητές.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 13, 2021 6:28 pm**

Ας είναι

η προβολή του

στη διάμετρο

, $K\,\,,\,\,L$ τα έγκεντρα των ίσων ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle EON\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ZPO$ .

Τα τετράπλευρα $OMNE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OZPM$ είναι εγγράψιμα κι αφού MO = MP = MN

οι $ZM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EN$ είναι διχοτόμοι των ορθών γωνιών στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ .

Άρα το $\vartriangle MKL$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο.

Ας είναι

η περίμετρος του καθενός από τα $\vartriangle EON\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ZPO$

: Κι άλλο σταθερό.png (27.92 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

Επειδή: $\left\{ \begin{gathered} OG = s - PZ \hfill \\ OF = s - NE = s - OZ \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow OG + OF = 2s - \left( {2s - R} \right) = R$

Θα είναι $KL = R \Rightarrow \boxed{MK = ML = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 14, 2021 1:34 pm**

Καθώς το

διαγράφει τον κύκλο (O,OA)

το

διαγράφει τον ίδιο κύκλο, με γωνιακή διαφορά $\pi / 2$ ,
ενώ το μέσον

του

διαγράφει τον κύκλο (O,OM)

. Είναι άρα το NOP

ορθογώνιο ισοσκελές και θα είναι $OM={R\sqrt{2} \over 2}$ .
Επειδή τώρα

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & O\widehat{K}M = 45^o + K\widehat{O}E \cr & M\widehat{O}K = 45^o + N\widehat{O}K \cr & K\widehat{O}E = N\widehat{O}K \cr \end{aligned} \right \} \rightarrow O\widehat{K}M= M\widehat{O}K \rightarrow KM=OM={R\sqrt{2} \over 2} }$

mathematica.gr

Κι άλλο σταθερό

Κι άλλο σταθερό

Re: Κι άλλο σταθερό

Re: Κι άλλο σταθερό