mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 18, 2021 8:11 pm**

: Ύπαρξη , υπολογισμός , κατασκευή.png (6.68 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Το

είναι σημείο στην προέκταση της διαμέτρου AB=2r

, ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε : BS=r

. Η χορδή

κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο .

α) Δείξτε ότι υπάρχει θέση της χορδής , για την οποία : CD=DS

.

β) Υπολογίστε το κοινό μήκος των CD , DS

.

γ) Μπορείτε να κατασκευάσετε την χορδή

;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 19, 2021 7:56 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 18, 2021 8:11 pm Ύπαρξη , υπολογισμός , κατασκευή.pngΤο είναι σημείο στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε : . Η χορδή κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο .

α) Δείξτε ότι υπάρχει θέση της χορδής , για την οποία : .

β) Υπολογίστε το κοινό μήκος των .

γ) Μπορείτε να κατασκευάσετε την χορδή ;

: Υπαρξη υπολογισμός κατασκευή_b.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα .

Με

η προβολή του

στην

και

το κέντρο του ημικυκλίου , θέτω:

$OK = x\,\,,\,\,DK = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = DC = z\,\,\,,\,\,0 < x < r$ . Προφανές:

$D{S^2} = D{C^2} \Rightarrow 4{x^2} = \left( {{r^2} - {x^2}} \right) + {\left( {2r - x} \right)^2}$ απ’ όπου :

$\boxed{x = \frac{{\sqrt 6 - 1}}{2}r}$ . Τα υπόλοιπα απλά .

Υπάρχουν πολλοί τρόποι γεωμετρικής κατασκευής της χορδής

. π. χ.

: Υπαρξη υπολογισμός κατασκευή_c.png (20.37 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς

. γράφω ημικύκλιο διαμέτρου

. Η εφαπτομένη του δεδομένου ημικυκλίου στο

τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο

.

Γράφω τον κύκλο $\left( {L,r} \right)$ και τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα

στο

.

Γράφω νέο κύκλο , $\left( {O,\dfrac{{AF}}{2}} \right)$ και τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα

στο

.

Η κάθετη στην

στο

τέμνει το δεδομένο ημικύκλιο στο

.

Η από το

παράλληλη στην

τέμνει το δεδομένο ημικύκλιο στο

. Ισχύουν :

$\boxed{L{A^2} = AE \cdot AS = 2r \cdot 3r = 6{r^2} \Rightarrow LA = r\sqrt 6 \Rightarrow \frac{{AF}}{2} = \frac{{LA - LF}}{2} = \frac{{r\sqrt 6 - r}}{2} = x}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 19, 2021 9:33 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιούλ 18, 2021 8:11 pm Ύπαρξη , υπολογισμός , κατασκευή.pngΤο είναι σημείο στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε : . Η χορδή κινείται , παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο .

α) Δείξτε ότι υπάρχει θέση της χορδής , για την οποία : .

β) Υπολογίστε το κοινό μήκος των .

γ) Μπορείτε να κατασκευάσετε την χορδή ;

Θέτω

οπότε $OE=\dfrac{x}{2}.$ Είναι $\displaystyle A{D^2} = 2r\left( {r + \frac{x}{2}} \right) = 2{r^2} + rx.$

: ΥΥΚ.png (12.49 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο ADS

και τέμνουσα DO,

έχω:

$\displaystyle 2r(2{r^2} + rx) + {x^2}r = 9{r^3} \Leftrightarrow {x^2} + 2rx - 5{r^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=(\sqrt 6-1)r}$

Με δεδομένο το

και ότι

η κατασκευή είναι απλή. Γράφω το κύκλο (S, x)

που τέμνει το ημικύκλιο στο

και από το

φέρνω την παράλληλη χορδή DC.

mathematica.gr

Ύπαρξη , υπολογισμός , κατασκευή

Ύπαρξη , υπολογισμός , κατασκευή

Re: Ύπαρξη , υπολογισμός , κατασκευή

Re: Ύπαρξη , υπολογισμός , κατασκευή