mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 26, 2021 3:14 pm**

Καλησπέρα έχω ένα θέμα με ένα πρόβλημα στο πανεπιστήμιο και με μια άσκηση συγκεκριμένα. Δίνονται οι εξής συναρτήσεις:

p(x): $x^{2}-7x+10 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 5$ και $x_{2} = 2$
q(x): $x^{2}-2x-3 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 3$ και $x_{2} = -1$
r(x): x < 0

α) πεδίο τιμών είναι όλοι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

$\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$

β) Το πεδίο τιμών αυτή τη φορά είναι όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\mathbb{Z}^{+}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

1) $\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$
2) $\exists x[q(x)\rightarrow r(x) ]$
2) $\exists x[p(x)\rightarrow r(x) ]$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 26, 2021 5:43 pm**

forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 3:14 pm Καλησπέρα έχω ένα θέμα με ένα πρόβλημα στο πανεπιστήμιο και με μια άσκηση συγκεκριμένα. Δίνονται οι εξής συναρτήσεις:

p(x): $x^{2}-7x+10 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 5$ και $x_{2} = 2$
q(x): $x^{2}-2x-3 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 3$ και $x_{2} = -1$
r(x):

α) πεδίο τιμών είναι όλοι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

$\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$

β) Το πεδίο τιμών αυτή τη φορά είναι όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\mathbb{Z}^{+}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

1) $\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$
2) $\exists x[q(x)\rightarrow r(x) ]$
2) $\exists x[p(x)\rightarrow r(x) ]$

Σε ποιο ακριβώς σημείο δυσκολεύεσαι γιατί βρίσκω την άσκηση ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ απλή (ιδίως για επίπεδο Α.Ε.Ι.), που δεν ξέρω που είναι το πρόβλημα. Ίσως αν διαβάσεις το βιβλίο του μαθήματος, που σου έδωσε δωρεάν το Κράτος, σίγουρα θα ξεκαθαρίσεις τις έννοιες και θα λύσεις απρόσκοπτα την άσκηση.

Αν δυσκολευτείς και τότε, μην διστάσεις να ξαναρωτήσεις. Πάντως θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου. Σε κάθε περίπτωση είναι μία γραμμή.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 26, 2021 10:06 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 5:43 pm
forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 3:14 pm Καλησπέρα έχω ένα θέμα με ένα πρόβλημα στο πανεπιστήμιο και με μια άσκηση συγκεκριμένα. Δίνονται οι εξής συναρτήσεις:

p(x): $x^{2}-7x+10 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 5$ και $x_{2} = 2$
q(x): $x^{2}-2x-3 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 3$ και $x_{2} = -1$
r(x):

α) πεδίο τιμών είναι όλοι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

$\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$

β) Το πεδίο τιμών αυτή τη φορά είναι όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\mathbb{Z}^{+}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

1) $\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$
2) $\exists x[q(x)\rightarrow r(x) ]$
2) $\exists x[p(x)\rightarrow r(x) ]$
Σε ποιο ακριβώς σημείο δυσκολεύεσαι γιατί βρίσκω την άσκηση ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ απλή (ιδίως για επίπεδο Α.Ε.Ι.), που δεν ξέρω που είναι το πρόβλημα. Ίσως αν διαβάσεις το βιβλίο του μαθήματος, που σου έδωσε δωρεάν το Κράτος, σίγουρα θα ξεκαθαρίσεις τις έννοιες και θα λύσεις απρόσκοπτα την άσκηση.

Αν δυσκολευτείς και τότε, μην διστάσεις να ξαναρωτήσεις. Πάντως θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου. Σε κάθε περίπτωση είναι μία γραμμή.

Την άσκηση την έχω λύσει εδώ και καιρό αφού είναι απλή και εύκολη, και έχω βρει στο
α)
είναι αληθής

β)
1) αληθής
2) ψευδής και
3) ψευδής

Αλλά ο καθηγητής στην λύση της άσκησης λέει ότι είναι το

α)
ψευδής με αντιπαράδειγμα χ = 3
β)
1) ψευδής με αντιπαράδειγμα χ = 3
2) αληθής με παράδειγμα χ = 2 και
3) αληθής με παράδειγμα χ = 10

Δηλαδή εντελώς αντίθετα αποτελέσματα και έχω έρθει σε αντιπαράθεση με τον καθηγητή. Αν είναι δυνατόν να δίνει λανθασμένα αποτελέσματα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 26, 2021 10:22 pm**

Αναλυτικότερα έχουμε:

α) ∀x[ q(x) -> r(x)] = ∀x[ ¬q(x) v r(x)] = ∀x[ ¬ψευδής v ψευδής ] = ∀x[ αληθής v ψευδής] = αληθής

β)
1) ∀x[ q(x) -> r(x)] = ∀x[ ¬q(x) v r(x)] = ∀x[ ¬ψευδής v ψευδής ] = ∀x[ αληθής v ψευδής] = αληθής
2)∃x[ ¬q(x) v r(x)] = ∃x[ ¬αληθής v ψευδής ] = ∃x[ ψευδής v ψευδής ] = ψευδής
3) ∃x[ ¬p(x) v r(x)] = ∃x[ ¬αληθής v ψευδής ] = ∃x[ ψευδής v ψευδής ] = ψευδής

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 27, 2021 12:20 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 5:43 pm
Αν δυσκολευτείς και τότε, μην διστάσεις να ξαναρωτήσεις. Πάντως θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου. Σε κάθε περίπτωση είναι μία γραμμή.

Μπορείς να μου εξηγήσεις αν ή απάντησή μου είναι λάθος;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 30, 2021 10:27 am**

forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 3:14 pm Καλησπέρα έχω ένα θέμα με ένα πρόβλημα στο πανεπιστήμιο και με μια άσκηση συγκεκριμένα. Δίνονται οι εξής συναρτήσεις:

p(x): $x^{2}-7x+10 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 5$ και $x_{2} = 2$
q(x): $x^{2}-2x-3 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 3$ και $x_{2} = -1$

Νομίζω ότι σου λείπουν βασικές γνώσεις η τέλοσπάντων δεν είναι ξεκάθαρα τα πράγματα στο μυαλό σου.
Τα παραπάνω είναι εξισώσεις και οχι συναρτήσεις.

forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 3:14 pm α) πεδίο τιμών είναι όλοι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

Φαντάζομαι ότι όταν λες ότι το πεδίο τιμών είναι όλοι οι ακέραιοι εννοείς ότι θεωρούμε ότι το

παίρνει ακέραιες τιμές.
Και πάλι από το πως τα γράφεις βλέπω ότι τα πράγματα δεν είναι ξεκάθαρα στο μυαλό σου.
Προτείνω να κοιτάξεις τα βασικά πρώτα μέχρι να τα ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου και μετά να πας στα πιο σύνθετα.

forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 10:22 pm Αναλυτικότερα έχουμε:

α) ∀x[ q(x) -> r(x)] = ∀x[ ¬q(x) v r(x)] = ∀x[ ¬ψευδής v ψευδής ] = ∀x[ αληθής v ψευδής] = αληθής

β)
1) ∀x[ q(x) -> r(x)] = ∀x[ ¬q(x) v r(x)] = ∀x[ ¬ψευδής v ψευδής ] = ∀x[ αληθής v ψευδής] = αληθής
2)∃x[ ¬q(x) v r(x)] = ∃x[ ¬αληθής v ψευδής ] = ∃x[ ψευδής v ψευδής ] = ψευδής
3) ∃x[ ¬p(x) v r(x)] = ∃x[ ¬αληθής v ψευδής ] = ∃x[ ψευδής v ψευδής ] = ψευδής

Εδώ χρησιμοποιείς τον ορισμό της συνεπαγωγής μόνο και δεν δικαιολογεις για ποιο λόγο οι προτάσεις αυτές είναι αληθείς(η ψευδείς).
Η ουσία της άσκησης είναι να δικαιολογίσεις για ποιο λόγο οι συγκεκριμένες προτάσεις είναι αληθείς(η ψευδείς) και όχι να αποδεικνύεις κάθε φορά τον πίνακα αλήθειας(αυτό μπορείς να το θεωρήσεις ως δεδομένο).

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 30, 2021 12:42 pm**

Εγώ δεν έχω καταλάβει ακριβώς την φράση αν είναι ψευδής τότε δώστε αντιπαράδειγμα.

Δηλαδή η συνεπαγωγή $x=3\Rightarrow x^2=4$ είναι ψευδής , τι σημαίνει δώστε αντιπαράδειγμα εδώ.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 30, 2021 12:51 pm**

Christos.N έγραψε: Παρ Ιούλ 30, 2021 12:42 pm Εγώ δεν έχω καταλάβει ακριβώς την φράση αν είναι ψευδής τότε δώστε αντιπαράδειγμα.

Δηλαδή η συνεπαγωγή $x=3\Rightarrow x^2=4$ είναι ψευδής , τι σημαίνει δώστε αντιπαράδειγμα εδώ.

Χωρίς να έχω διαβάσει αναλυτικά τα προηγούμενα ποστ αυτό που καταλαβαίνω εγώ με τη φράση "αν είναι ψευδής τότε δώστε αντιπαράδειγμα" είναι το εξής: αν έχουμε μια πρόταση της μορφής $\forall x(P(x)\Rightarrow Q(x))$ τότε για να αποδείξω ότι είναι ψευδής πρέπει να βρω ένα

για το οποίο να ισχύει η P(x)

αλλά όχι η Q(x)

[αυτό είναι που η φράση εννοεί ως αντιπαράδειγμα]. Στο δικό σας παράδειγμα το x=3

λειτουργεί ως "αντιπαράδειγμα" αφού ικανοποιεί την υπόθεση αλλά όχι το συμπέρασμα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 30, 2021 1:06 pm**

giannispapav έγραψε: Παρ Ιούλ 30, 2021 12:51 pm
Στο δικό σας παράδειγμα το λειτουργεί ως "αντιπαράδειγμα" αφού ικανοποιεί την υπόθεση αλλά όχι το συμπέρασμα.

Ευχαριστώ για την απάντηση

forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 10:06 pm
p(x): $x^{2}-7x+10 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 5$ και $x_{2} = 2$
q(x): $x^{2}-2x-3 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 3$ και $x_{2} = -1$
r(x):

α) πεδίο τιμών είναι όλοι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

$\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x)$
....

Αλλά ο καθηγητής στην λύση της άσκησης λέει ότι είναι το

α)
ψευδής με αντιπαράδειγμα χ = 3

Εδώ δεν 'έχω καταλάβει πως λειτουργεί το αντιπαράδειγμα.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 30, 2021 2:40 pm**

Christos.N έγραψε: Παρ Ιούλ 30, 2021 1:06 pm
giannispapav έγραψε: Παρ Ιούλ 30, 2021 12:51 pm
Στο δικό σας παράδειγμα το λειτουργεί ως "αντιπαράδειγμα" αφού ικανοποιεί την υπόθεση αλλά όχι το συμπέρασμα.
Ευχαριστώ για την απάντηση

forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 10:06 pm
p(x): $x^{2}-7x+10 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 5$ και $x_{2} = 2$
q(x): $x^{2}-2x-3 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 3$ και $x_{2} = -1$
r(x):

α) πεδίο τιμών είναι όλοι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

$\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x)$
....

Αλλά ο καθηγητής στην λύση της άσκησης λέει ότι είναι το

α)
ψευδής με αντιπαράδειγμα χ = 3

Εδώ δεν 'έχω καταλάβει πως λειτουργεί το αντιπαράδειγμα.

Μάλλον εννοεί x=-1

σαν αντιπαράδειγμα. Αυτό είναι το σωστό.
Από ότι φαίνεται ο φίλος μας είναι μπερδεμένος.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Φεβ 09, 2022 8:01 am**

forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 10:06 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 5:43 pm
forscience έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 3:14 pm Καλησπέρα έχω ένα θέμα με ένα πρόβλημα στο πανεπιστήμιο και με μια άσκηση συγκεκριμένα. Δίνονται οι εξής συναρτήσεις:

p(x): $x^{2}-7x+10 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 5$ και $x_{2} = 2$
q(x): $x^{2}-2x-3 = 0$ ή οποία έχει ρίζες $x_{1} = 3$ και $x_{2} = -1$
r(x):

α) πεδίο τιμών είναι όλοι ακέραιοι $\mathbb{Z}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

$\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$

β) Το πεδίο τιμών αυτή τη φορά είναι όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\mathbb{Z}^{+}$ . Ελέγξτε αν οι παραπάνω λογισμοί είναι αληθείς. Στην περίπτωση που είναι ψευδής, τότε δώστε ένα αντιπαράδειγμα.

1) $\forall x[q(x)\rightarrow \neg r(x) ]$
2) $\exists x[q(x)\rightarrow r(x) ]$
2) $\exists x[p(x)\rightarrow r(x) ]$
Σε ποιο ακριβώς σημείο δυσκολεύεσαι γιατί βρίσκω την άσκηση ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ απλή (ιδίως για επίπεδο Α.Ε.Ι.), που δεν ξέρω που είναι το πρόβλημα. Ίσως αν διαβάσεις το βιβλίο του μαθήματος, που σου έδωσε δωρεάν το Κράτος, σίγουρα θα ξεκαθαρίσεις τις έννοιες και θα λύσεις απρόσκοπτα την άσκηση.

Αν δυσκολευτείς και τότε, μην διστάσεις να ξαναρωτήσεις. Πάντως θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου. Σε κάθε περίπτωση είναι μία γραμμή.

Την άσκηση την έχω λύσει εδώ και καιρό αφού είναι απλή και εύκολη, και έχω βρει στο
α)
είναι αληθής

β)
1) αληθής
2) ψευδής και
3) ψευδής

Αλλά ο καθηγητής στην λύση της άσκησης λέει ότι είναι το

α)
ψευδής με αντιπαράδειγμα χ = 3
β)
1) ψευδής με αντιπαράδειγμα χ = 3
2) αληθής με παράδειγμα χ = 2 και
3) αληθής με παράδειγμα χ = 10

Δηλαδή εντελώς αντίθετα αποτελέσματα και έχω έρθει σε αντιπαράθεση με τον καθηγητή. Αν είναι δυνατόν να δίνει λανθασμένα αποτελέσματα.

Συγνώμη αγαπητέ μου ,αλλά στην αντιπαράθεση με τον καθηγητή σου σου εξήγησε τουλάχιστον γιατί αυτός είναι σωστός και εσύ λάθος
Ποιους κανόνες της λογικής χρησιμοποίησε για να βγάλει το αποτέλεσμα του ;

mathematica.gr

Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη

Re: Κατηγορηματική λογική με καθολικό/ υπαρξιακό ποσοδείκτη