mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 31, 2021 3:13 pm**

Έστω $f:[0,\,1]\rightarrow \mathbb R$ συνάρτηση με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε

$\displaystyle{ \int _0^1 f(x)f'(x) dx = {\color {red}7,5}$ και $\displaystyle{ \int _0^1 f^2(x)f'(x) dx = 21}$ .

Να βρεθεί το $\displaystyle{ \int _0^1 f^3(x)f'(x) dx }$ .

Aς την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Είναι απλή.

Edit: Άλλαξα ένα νούμερο ώστε να βγαίνουν εύκολα οι πράξεις. Ήταν απροσεξία μου στην δακτυλογράφηση.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 01, 2021 11:03 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 31, 2021 3:13 pm Έστω $f:[0,\,1]\rightarrow \mathbb R$ συνάρτηση με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε

$\displaystyle{ \int _0^1 f(x)f'(x) dx = 5}$ και $\displaystyle{ \int _0^1 f^2(x)f'(x) dx = 21}$ .

Να βρεθεί το $\displaystyle{ \int _0^1 f^3(x)f'(x) dx }$ .

Aς την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Είναι απλή.

Έχομεν και λέμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x) f'(x) \, \mathrm{d}x = 5 &\Leftrightarrow \left [ \frac{f^2(x)}{2} \right ]_0^1 = 5 \\ &\Leftrightarrow f^2(1) - f^2(0) = 10 \end{aligned}}$
και

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f^2(x) f'(x) \, \mathrm{d}x = 21 &\Leftrightarrow \left [ \frac{f^3(x)}{3} \right ]_0^1 = 21 \\ &\Leftrightarrow f^3(1) - f^3(0) = 63 \end{aligned}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f^3(x) f'(x) &= \left [ \frac{f^4(x)}{4} \right ]_0^1 \\ &= \frac{1}{4} \left ( f^4(1) - f^4(0) \right ) \\ &= \frac{1}{4} \left ( f^2(1) - f^2(0) \right ) \left ( f^2(1) + f^2(0) \right ) \end{aligned}}$
Φτάνω εδώ αλλά κολλάω. Καμία υπόδειξη ;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 12:31 am**

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Αύγ 01, 2021 11:03 pm
Φτάνω εδώ αλλά κολλάω. Καμία υπόδειξη ;

Οι δύο πρώτες σχέσεις που βρήκες, δηλαδή οι $\displaystyle{ f^2(1) - f^2(0) = 10,\, f^3(1) - f^3(0) = 63}$ ,

είναι σύστημα εξισώσεων ως προς f(1)

και

.

Edit: Άλλαξα ένα νούμερο στην αρχική άσκηση, ώστε να βγαίνουν εύκολα οι πράξεις. Ήταν τυπογραφική αβλεψία μου.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 8:24 am**

Κι εγώ εκεί έχω φτάσει αλλά οι λύσεις είναι αρκετά "περίεργες" και η μόνη άλλη ιδέα που είχα ήταν να βρω τη παράσταση x^2 + y^2

μέσω των δύο αυτών σχέσεων, όμως δε το κατάφερα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 8:42 am**

llenny έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 8:24 am Κι εγώ εκεί έχω φτάσει αλλά οι λύσεις είναι αρκετά "περίεργες" και η μόνη άλλη ιδέα που είχα ήταν να βρω τη παράσταση μέσω των δύο αυτών σχέσεων, όμως δε το κατάφερα.

Έχετε δίκιο, και εσύ και ο Τόλης. Είχα τυπογραφικό σφάλμα σε ένα από τα νούμερα της εκφώνησης. Τώρα το έφτιαξα (δείτε παραπάνω).

Τώρα το σύστημα είναι f^2(1)-f^2(0) = 15, f^3(1)-f^3(0) = 63

, με λύση $f(1)=4,\, f(0) = 1$ .

ZΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΛΑΙΠΩΡΙΑ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 10:41 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 8:42 am
llenny έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 8:24 am Κι εγώ εκεί έχω φτάσει αλλά οι λύσεις είναι αρκετά "περίεργες" και η μόνη άλλη ιδέα που είχα ήταν να βρω τη παράσταση μέσω των δύο αυτών σχέσεων, όμως δε το κατάφερα.
Έχετε δίκιο, και εσύ και ο Τόλης. Είχα τυπογραφικό σφάλμα σε ένα από τα νούμερα της εκφώνησης. Τώρα το έφτιαξα (δείτε παραπάνω).

Τώρα το σύστημα είναι , με λύση $f(1)=4,\, f(0) = 1$ .

ZΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΛΑΙΠΩΡΙΑ.

Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 11:20 am**

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 10:41 am
Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.

Εννοείται. Είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο οπότε έχει πραγματική ρίζα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 11:33 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 11:20 am
Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 10:41 am
Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.
Εννοείται. Είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο οπότε έχει πραγματική ρίζα.

Μιχάλη, παίρνω δύο

και δύο

από το σύστημα. Οπότε το f(1)

και το

δε μπορεί να είναι μόνο αυτά που έγραψες.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 8:42 am
Έχετε δίκιο, και εσύ και ο Τόλης. Είχα τυπογραφικό σφάλμα σε ένα από τα νούμερα της εκφώνησης. Τώρα το έφτιαξα (δείτε παραπάνω).

Τώρα το σύστημα είναι , με λύση $f(1)=4,\, f(0) = 1$ .

ZΗΤΩ ΣΥΓΝΩΜΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΛΑΙΠΩΡΙΑ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 1:27 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 11:33 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 11:20 am
Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 10:41 am
Εμένα το Wolfram μου δίνει και δεύτερη λύση για σύστημα αυτό.
Εννοείται. Είναι τριτοβάθμιο πολυώνυμο οπότε έχει πραγματική ρίζα.
Μιχάλη, παίρνω δύο και δύο από το σύστημα. Οπότε το και το δε μπορεί να είναι μόνο αυτά που έγραψες.

Μα αυτό ακριβώς είπα. Το τριτοβάθμιο που αναφέρομαι είναι αφού βρεις την λύση $x=4,\,y=1$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 2:50 pm**

Δεν καταλαβαίνω.

: Στιγμιότυπο από 2021-08-02 14-51-30.jpg (34.17 KiB) Προβλήθηκε 1456 φορές

Η άλλη λύση γιατί απορρίπτεται και κρατάμε μόνο τη (4, 1)

;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 7:50 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 2:50 pm Η άλλη λύση γιατί απορρίπτεται και κρατάμε μόνο τη ;

Ποιος είπε ότι απορρίπτεται. Είναι άλλη λύση.

mathematica.gr

Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα

Re: Ολοκλήρωμα από ολοκληρώματα