mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 02, 2021 12:58 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Ορίστε μία άσκηση που κατασκεύασα:

Ένας θετικός ακέραιους λέγεται <<καλός>>, εάν όλα του τα ψηφία (τουλάχιστον δύο στο πλήθος) είναι ίσα μεταξύ τους. Είναι άραγε δυνατόν κάποιος καλός αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 03, 2021 6:43 pm**

Joaakim έγραψε: Δευ Αύγ 02, 2021 12:58 pm Ένας θετικός ακέραιους λέγεται <<καλός>>, εάν όλα του τα ψηφία (τουλάχιστον δύο στο πλήθος) είναι ίσα μεταξύ τους. Είναι άραγε δυνατόν κάποιος καλός αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου;

Aπάντηση: Οι αριθμοί nnn...nnn

(τουλάχιστον δύο επαναλήψεις του ψηφίου

) δεν μπορεί να είναι τέλεια τετράγωνα.

Πράγματι, αποκλείονται οι περιπτώσεις $n=2,\, 3, \, 7,\, 8$ γιατί κανένα τέλειο τετράγωνο δεν λήγει σε αυτούς. (Tα τέλεια τετράγωνα λήγουν σε $0^2=0, \, 1^1=1,\, 2^2=4$ , και λοιπά.)

Για n=4

, μία ισότητα της μορφής 444...44=N^2

δίνει

άρτιος,

, οπότε

. To οποίο όμως θα δούμε παρακάτω (τελευταίες δύο γραμμές) ότι δεν γίνεται.

Για n=5

, μία ισότητα της μορφής 555...55=N^2

δίνει

πολλαπλάσιο του

,

, οπότε

. Άτοπο αφού το ένα μέλος είναι πολλαπλάσιο του

και το άλλο δεν είναι.

Για n=6

, μία ισότητα της μορφής 666...66=N^2

δίνει

άρτιος,

, οπότε

. Άτοπο αφού το ένα μέλος είναι περιττό και το άλλο άρτιος.

Μένουν οι περιπτώσεις n=1

και

. Είναι $111...111=A\times 100 +11 =4B+11$ και $999...99=C \times 100-1= 4D-1$ , οπότε και οι δύο είναι $\equiv 3 \mod 4$ . Άρα δεν είναι τέλεια τετράγωνα γιατί αυτά είναι ισότιμα με

ή

$\mod 4$ .

Edit: Διόρθωσα μικρή αβλεψία (βλέπε σχόλιο του θεματοθέτη Joaakim στο επόμενο ποστ). Τον ευχαριστώ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 03, 2021 7:44 pm**

Ωραία λύση, γραμμένη ώστε να γίνεται κατανοητή από όλους.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Αύγ 03, 2021 6:43 pm
Για , μία ισότητα της μορφής δίνει άρτιος, , οπότε . Άτοπο αφού το ένα μέλος είναι περιττό και το άλλο άρτιος.

Έχετε όμως ένα λαθάκι σε αυτό το σημείο- πρέπει να είναι 111...11=M^2

, το οποίο μπορεί όμως να διορθωθεί.

Ένας τρόπος είναι με mod.4

, αφού δίνει M^2=3mod.4

, άτοπο, αφού το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod.4

.

Η δική μου λύση στηρίζεται στην χρήση ισοτιμιών mod.

. Θα δω μήπως την ανεβάσω αύριο.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 03, 2021 8:04 pm**

Joaakim έγραψε: Τρί Αύγ 03, 2021 7:44 pm Ωραία λύση, γραμμένη ώστε να γίνεται κατανοητή από όλους.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Αύγ 03, 2021 6:43 pm
Για , μία ισότητα της μορφής δίνει άρτιος, , οπότε . Άτοπο αφού το ένα μέλος είναι περιττό και το άλλο άρτιος.

Έχετε όμως ένα λαθάκι σε αυτό το σημείο- πρέπει να είναι , το οποίο μπορεί όμως να διορθωθεί.

Σωστά. Απροσεξία μου. Τώρα το διόρθωσα στο αρχικό μου ποστ.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 04, 2021 9:59 am**

Ας το δούμε και με modulo

.

Καταρχάς η εξίσωση γράφεται $a \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} = k^2$ . Όπου

το ψηφίο και

ο αριθμός των ψηφίων.

Με mod4

παίρνω $a\equiv -k^2 mod4$

Άρα μένει να εξετάσω τις περιπτώσεις a=3,4,7,8

Αποκλείουμε τις περιπτώσεις a=3,7,8

για τον ίδιο λόγο που ανέφερε ο κ. Λάμπρου.

Εναλλακτικά δουλεύουμε ως εξής:

Για a=3

έχω

.

Με

παίρνω $3k^2 \equiv -1 mod5 \Leftrightarrow k^2 \equiv 3 mod5$ , άτοπο.

Για a=7

με

άτοπο πάλι.

Για a=8

έχω $8 / k^2 \Leftrightarrow k=4l$ .

Τώρα είναι 10^n -1 = 18l^2

. Με

έχω $2l^2 \equiv -1 mod4$ , άτοπο.

Μένει η a=4

.

Για

έχω $4 / k^2 \Leftrightarrow k=2l$ .

Άρα 10^n - 1= 9l^2

.

Με

έχω όμως ότι $l^2 \equiv -1 mod4$ , άτοπο.

Και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 04, 2021 12:30 pm**

Μια προσπάθεια για σύντομη λύση.

Γράφουμε τον αριθμό ως

όπου $a \in \{1,2,\ldots,9\}$ και $b = 11 \cdots 11$ . Επειδή $b \equiv 3 \bmod 4$ , αν τον γράψουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, θα έχει κάποιον πρώτο παράγοντα p^r

με $p \equiv 3 \bmod 4$ και

περιττό. Για να είναι ο

τέλειο τετράγωνο, πρέπει p|a

και άρα

ή

. Τότε όμως $ab \equiv 2,3 \bmod 5$ και άρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 04, 2021 1:26 pm**

Ένας θετικός ακέραιους

ψηφίων (

)λέγεται <<καλός>>, εάν τουλάχιστον k-1

ψηφία είναι ίδια.Να βρεθούν όλοι οι καλοί αριθμοί που είναι τέλειο τετράγωνα.

oblath's

problem

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 04, 2021 5:41 pm**

2nisic έγραψε: Τετ Αύγ 04, 2021 1:26 pm Ένας θετικός ακέραιους ψηφίων λέγεται <<καλός>>, εάν τουλάχιστον ψηφία είναι ίδια.Να βρεθούν όλοι οι καλοί αριθμοί που είναι τέλεια τετράγωνα.

oblath's problem

Ενδιαφέρον. Δεν το γνώριζα αλλά ψάχνοντας στο ίντερνετ το όνομα που δίνεις, Oblath's problem, βρήκα ένα άρθρο των Ρουμάνων Gica και Panaiotopol εδώ με πλήρη λύση του προβλήματος.

Συγκεκριμένα, οι "μικρές" λύσεις είναι μόνο οι παρακάτω (αντιγράφω για χάρη του φόρουμ):

α) όλα τα οι διψήφια τέλεια τετράγωνα $\displaystyle{16,\,25,\,36,\, 49,\, 64,\,81,}$

β) οι τριψήφιοι $\displaystyle{100, \, 121,\, 144,\, 225,\, 400,\, 441,\, 484,\, 676, \,900, }$

γ) ο τετραψήφιος $\displaystyle{ 1444}$

δ) οι πενταψήφιοι $\displaystyle{10000,\, 44944,\, 40000,\, 90000}$

Aπό εκεί και πέρα μόνο οι αριθμοί της μορφής $\displaystyle{10^{2n} ,\, 4\times 10^{2n},\, 9\times 10^{2n}}$ .

Ευχαριστούμε που μας άνοιξες το μονοπάτι.

mathematica.gr

Καλοί Αριθμοί

Καλοί Αριθμοί

Re: Καλοί Αριθμοί

Re: Καλοί Αριθμοί

Re: Καλοί Αριθμοί

Re: Καλοί Αριθμοί

Re: Καλοί Αριθμοί

Re: Καλοί Αριθμοί

Re: Καλοί Αριθμοί