Με κίνδυνο να υπερβώ τα εσκαμμένα, νομίζω ότι εδώ ταιριάζει μια αριθμητική λύση βασισμένη απλά στην έννοια του ολοκληρώματος. Έτσι ο μαθητής "χωνεύει" την έννοια και εξοικιώνεται με μια μέθοδο που είναι συχνά χρήσιμη, ιδίως όταν η αναλυτική έκφραση του ολοκληρώματος είναι δύσκολη ή αδύνατη. Υπάρχουν μάλιστα περιπτώσεις που ούτε η αναλυτική έκφραση της συνάρτησης
είναι δυνατή, εντούτοις πρέπει να γίνει η ολοκλήρωση.
Χωρίζουμε λοιπόν το διάστημα
σε π.χ. 10 υποδιαστήματα ίσου μήκους (το ίσο πάντως δεν είναι υποχρεωτικό), βρίσκουμε την τιμή της
για τη μέση τιμή κάθε υποδιαστήματος Δχ και αθροίζουμε τα γινόμενα
, όπως φαίνεται στο συνημμένο λογιστικό φύλλο. Τούτο βρίσκει προσεγγιστική τιμή ολοκληρώματος 1.5173, έναντι αναλυτικής τιμής 1.5143.
Σημείωση: Παλαιότερα σε τέτοιες περιπτώσεις εχρησιμοποιείτο συχνά γραφική ολοκλήρωση, η οποία έχει το πλεονέκτημα να απεικονίζει την καμπύλη του F(x). Σήμερα τα λογιστικά φύλλα είναι εύκολα στη χρήση τους και απλά μειώνουμε το εύρος των υποδιαστημάτων, αν θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια.
Διάστηματα 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Αθροιστικά
εύρος κάθε διαστήματος, ΔX 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 1,2361
τιμή X στο μέσο του διαστήματος 1,0618 1,1854 1,3090 1,4326 1,5562 1,6798 1,8034 1,9271 2,0507 2,1743
τιμή F(X) για το υποδηλούμενο Χ 0,3570 0,6366 0,8447 1,0259 1,1924 1,3498 1,5008 1,6473 1,7903 1,9307
F(X)*ΔΧ για κάθε διάστημα 0,0441 0,0787 0,1044 0,1268 0,1474 0,1668 0,1855 0,2036 0,2213 0,2386
Αθροισμα F(X)*ΔΧ για όλα τα διαστήματα 1,5173
Τιμή ολοκληρώματος (αναλυτική προσέγγιση) 1,5143
(<
https://socratic.org/questions/how-do-y ... t-x-2-1-dx>) Προσοχή: φαίνεται να διαφέρει από το #3 της ανάρτησης.
Σημείωση: Δεν μπόρεσα να επισυνάψω το λογιστικό φύλλο, μόνο τα παραπάνω
;![x\in\left(1,\sqrt{5}\right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a8844aa7f637783fc337567cb34f233a.png "x\in\left(1,\sqrt{5}\right]")
φτιάξε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές κάθετες 
, οπότε υποτείνουσα 
. Πες 
τη γωνία που είναι προσκείμενη στην πλευρά 
. (ίσως τους φανεί λογική αυτή η αντικατάσταση και όχι ουρανοκατέβατη)
όπου 
άρα βρίσκεις με πράξεις![\displaystyle{I=\int_{0}^{t_2}\frac{\sin^2\,t}{\cos^3\,t}dt=\int_{0}^{t_2}(\frac{\tan^2\,t}{2})'\,\sin\,t\,dt=\left[\frac{1}{2}\,\tan^2\,t\,\sin\,t\right]_{0}^{t_2}-\int_{0}^{t_2}\frac{\sin^2\,t}{\cos\,t}\,dt}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1e3066a9b2432f3a8b87fba697a284f9.png "\displaystyle{I=\int_{0}^{t_2}\frac{\sin^2\,t}{\cos^3\,t}dt=\int_{0}^{t_2}(\frac{\tan^2\,t}{2})'\,\sin\,t\,dt=\left[\frac{1}{2}\,\tan^2\,t\,\sin\,t\right]_{0}^{t_2}-\int_{0}^{t_2}\frac{\sin^2\,t}{\cos\,t}\,dt}")
) Τι λες ;![\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{5}} \sqrt{x^2-1} \, \mathrm{d}x = \left [ x \sqrt{x^2-1} \right ]_1^{\sqrt{5}} - \lim_{\epsilon \rightarrow 1^+} \int_{\epsilon}^{\sqrt{5}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} \, \mathrm{d}x = \cdots }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/69a07671970b119650ed7860eaa7fc68.png "\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{5}} \sqrt{x^2-1} \, \mathrm{d}x = \left [ x \sqrt{x^2-1} \right ]_1^{\sqrt{5}} - \lim_{\epsilon \rightarrow 1^+} \int_{\epsilon}^{\sqrt{5}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} \, \mathrm{d}x = \cdots }")
.