Κλασματικά μέρη, υπόλοιπα και κυβικές ρίζες
Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 06, 2021 10:32 pm
Ο φυσικός αριθμός 
δίνει υπόλοιπο 
με την διαίρεση με το 
. Να αποδείξετε την ανισότητα ![\left \{ \sqrt[3]{n} \right \} \geq \dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c70a414f43fcb29f0cbaddf9b3da2b35.png "\left \{ \sqrt[3]{n} \right \} \geq \dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}}")
.
Με
συμβολίζουμε το κλασματικό μέρος του αριθμού 
. ![\left \{x \right \} =x-[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/55d8ca12d0895c74f22a74ebde095787.png "\left \{x \right \} =x-[x]")
, όπου ![[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3e5314e9fd31509fdeb83faa0f729ba2.png "[x]")
το ακέραιο μέρος του αριθμού .
δίνει υπόλοιπο με την διαίρεση με το . Να αποδείξετε την ανισότητα .Με
συμβολίζουμε το κλασματικό μέρος του αριθμού . , όπου το ακέραιο μέρος του αριθμού .![k = [\sqrt[3]{n}]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b882f8acfb8a5df9d639d636abf47a07.png "k = [\sqrt[3]{n}]")
. Πρέπει 
και αφού 
, τότε 
. Επομένως
![\displaystyle \left\{ \sqrt[3]{n} \right\} = \sqrt[3]{n} - k > \sqrt[3]{n} - \frac{n-1}{\sqrt[3]{n^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/656fe6eaccb6ef0ab018ce585e9cc981.png "\displaystyle \left\{ \sqrt[3]{n} \right\} = \sqrt[3]{n} - k > \sqrt[3]{n} - \frac{n-1}{\sqrt[3]{n^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}.")