mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 23, 2021 12:31 pm**

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+x+e^{x^3}} + \int_{1}^{e} \frac{\mathrm{d}x}{1+x+\sqrt[3]{\ln x}} = \ln \left ( 1 + \frac{e}{2} \right )}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 23, 2021 5:07 pm**

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x^{3}}+x+1}$
θετουμε $e^{x^{3}}=u\Leftrightarrow lnu=x^{3} \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{lnu}\Rightarrow dx=\frac{1}{3u}\cdot(lnu)^{-\frac{2}{3}}du$
oποτε το ολοκληρωμα μετασχηματιζεται στο : $\int_{1}^{e}\frac{\frac{1}{3x}\cdot(lnx)^{-\frac{2}{3}}}{1+x+\sqrt[3]{lnx}}dx$
$I=\int_{1}^{e}\frac{\frac{1}{3x}\cdot(lnx)^{-\frac{2}{3}}}{1+x+\sqrt[3]{lnx}}dx+\int_{1}^{e}\frac{dx}{1+x+\sqrt[3]{lnx}}=\int_{1}^{e}\frac{1+\frac{1}{3x}\cdot (lnx)^{-\frac{2}{3}}}{1+x+\sqrt[3]{lnx}}dx=\int_{1}^{e}\frac{(1+x+\sqrt[3]{lnx})'}{1+x+\sqrt[3]{lnx}}dx$

Αρα : $I=[ln(1+x+\sqrt[3]{lnx})]^{e}_{1}=ln(e+2)-ln2=ln(1+\frac{e}{2})$

mathematica.gr

Τιμή παράστασης

Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης