mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 26, 2021 7:28 pm**

: Σχολική-2.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 1128 φορές

Έστω

το έγκεντρο ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=AC).

Στην προέκταση του

προς

το

θεωρώ σημείο

ώστε

Αν

να υπολογίσετε την γωνία $B\widehat AC.$

24 ώρες για μαθητές.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 27, 2021 8:13 pm**

: Σχολική 2.png (93.86 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Αφού $\triangle ABC$ ισοσκελές με κορυφή το

και

το έγκεντρο του άρα

θα είναι διχοτόμος της $\angle BAC$ και μεσοκάθετος της

.

Εστω $\angle ABI =x$ τότε αφού

έγκεντρο θα ισχύει $\angle ABI = \angle CBI = \angle ACI = \angle ICB =x$ .

Η γωνία $\angle CAD$ είναι ίση με

ως εξωτερική του τριγώνου $\triangle ABC$ .

Αφού το τρίγωνο $\triangle DBC$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

και

διχοτόμος της γωνίας της κορυφής άρα η

θα είναι και μεσοκάθετος

της

.

Η γωνία $\angle CIM$ είναι ίση με

ως εξωτερική του τριγώνου $\triangle CBI$ . Το τρίγωνο $\triangle DIC$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

γιατί

μεσοκάθετος της

. Αρα θα είναι και διχοτόμος, συνεπώς $\angle MID = 2x$ .

Το τετράπλευρο CIAD

είναι εγγράψιμο γιατί μία πλευρά του ,η

φαίνεται απέναντι από ίσες γωνίες $\angle CAD = \angle CID = 4x$ .

Αρα $\angle IDA = \angle ACI = x$ και επειδή το τρίγωνο $\triangle IAD$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

θα ισχύει ακόμη ότι $\angle DIA = \angle IDA =x$

Συνεπώς η γωνία $\angle BAE =2x$ ως εξωτερική του τριγώνου $\triangle ADI$ . Οπότε το τρίγωνο $\triangle ABE$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα

η γωνία $\angle BAC = 90^0$ γιατί στο τρίγωνο $\triangle BAC$ η διάμεσος του

προκύπτει ότι είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία
αντιστοιχεί.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 29, 2021 7:50 pm**

Διαφορετικά.

: Σχολική-2β.png (13.56 KiB) Προβλήθηκε 954 φορές

Λόγω του ισοσκελούς BDC

είναι $\displaystyle \widehat D = 90^\circ - \frac{{\widehat B}}{2}$ και λόγω του έγκεντρου, $\displaystyle A\widehat IC = 90^\circ + \frac{{\widehat B}}{2}.$

Άρα το AICD

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle AI = AD \Leftrightarrow D\widehat CA = A\widehat CI = \frac{{\widehat B}}{2} \Rightarrow$ $\boxed{B\widehat AC=90^\circ}$

mathematica.gr

Σχολική 2

Σχολική 2

Re: Σχολική 2

Re: Σχολική 2