mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 08, 2021 1:46 pm**

: Ελάχιστο για υπομονετικούς.png (14.77 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Από το σημείο

μεταβαίνουμε σε σημείο

του κύκλου (K)

και από εκεί στο σημείο

.

Βρείτε το ελάχιστο αυτής της διαδρομής και το σημείο

για το οποίο αυτό επιτυγχάνεται .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 08, 2021 6:10 pm**

attachment=0]Ελάχιστο για υπομονετικούς_Κατασκευή.png[/attachment

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 08, 2021 10:13 pm**

Δεν έχω μέθοδο ... τα κάτωθι βρέθηκαν δοκιμαστικά

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 11, 2021 12:07 pm**

nickchalkida έγραψε: Παρ Οκτ 08, 2021 10:13 pm Δεν έχω μέθοδο ... τα κάτωθι βρέθηκαν δοκιμαστικά

Αναζητούμε την έλλειψη με εστίες τα Α, Β η οποία εφάπτεται στον κύκλο και βρίσκουμε το σημείο επαφής S.
Δεν έχω εξετάσει πόσο εύκολο είναι αυτό - είναι όμως πολύ καλή σκέψη!
Η ζητούμενη έλλειψη έχει μεγάλο άξονα με μήκος 10 μονάδες.
Τώρα είναι εύκολο, με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας, να δείξουμε ότι για σημείο Μ του κύκλου διαφορετικό του S ισχύει:
ΑΜ+ΜΒ>ΑS+SB =10.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 11, 2021 10:09 pm**

Το κέντρο του κύκλου είναι $\boxed{K\left( {\frac{{102}}{{25}},\frac{{24}}{5}} \right)}$

Ας πάρουμε κάποιο σημείο $S\left( {k,m} \right)$ του κύκλου . Τότε η ευθεία $KS \to 5\left( {24 - 5m} \right)x + \left( {25k - 102} \right)y - 120k + 102m = 0$ .

Για y = 0

,τέμνει δε τον οριζόντιο άξονα στο σημείο $D\left( {u,0} \right)\,\,\,,\boxed{u = \dfrac{{6\left( {20k - 17m} \right)}}{{5\left( {24 - 5m} \right)}}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο $S\left( {k,m} \right)$ είναι :

$kx + my - \dfrac{{102}}{{25}}x - \dfrac{{24}}{5}y + \dfrac{{819}}{{25}} = 0$ και τέμνει το οριζόντιο άξονα στο σημείο :

$E\left( {v,0} \right)\,\,,\boxed{v = \frac{{3\left( {34k + 20m - 273} \right)}}{{\left( {25k - 102} \right)}}}\,\,\left( 2 \right)$

: Ελάχιστο για υπομονετικούς_Ανάλυση και κατασκευή.png (27.16 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Για το ελάχιστο ζητούμενο άθροισμα, από τους νόμους της φύσης,θα είναι, $\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}}$ που μας εξασφαλίζει ότι η τετράδα $\left( {A,B\backslash D,E} \right)$ είναι αρμονική .

Από την αρμονική αναλογία : $\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{EA}}{{EB}} \Rightarrow \left( {u + 4} \right)\left( {v - 4} \right) - \left( {v + 4} \right)\left( {4 - u} \right) = 0$ που λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει:

$4\left( {6120{k^2} + 2\left( {3499m - 36570} \right)k - 51\left( {120{m^2} - 419m - 1920} \right)} \right) = 0$ $\left( 3 \right)$ .

Το σύστημα της εξίσωσης $\left( 3 \right)$ με την εξίσωση που επαληθεύουν οι συντεταγμένες του

δίδουν τις συντεταγμένες του

. Δηλαδή :

$\left\{ \begin{gathered} 4\left( {6120{k^2} + 2\left( {3499m - 36570} \right)k - 51\left( {120{m^2} - 419m - 1920} \right)} \right) = 0 \hfill \\ {k^2} + {m^2} - \frac{{204}}{{25}}k - \frac{{48}}{5}m + \frac{{819}}{{25}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ δίδει 4 λύσεις .

Απ’ αυτές η λύση: $\boxed{S\left( {3,\frac{{12}}{5}} \right)}$ δίδει το ελάχιστο άθροισμα που θέλω : $\boxed{{{\left( {SA + SB} \right)}_{\min }} = \left( {7,4 + 2,6} \right) = 10}$

: Ελάχιστο για υπομονετικούς_Κατασκευή.png (42.05 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Ειδικά με τα δεδομένα νούμερα είναι : KS = SD

και το

προσδιορίζεται από τον

ομόκεντρο κύκλο με διπλάσια ακτίνα και το ένα από τα δύο σημεία που τέμνει τον

οριζόντιο άξονα. Άρα η κατασκευή είναι απλούστατη .

Παρατήρηση:

Η άκομψη εξίσωση του κύκλου έγινε πιστεύω για να πάρουμε το απλό ελάχιστο άθροισμα .

Συνεπώς σεβόμενος τον κόπο του Θανάση για να το πετύχει , είχα υποχρέωση να δώσω και γραπτά τη λύση που εξ αρχής μου έδωσε ο «αυτόματος πιλότος».

mathematica.gr

Ελάχιστο για υπομονετικούς

Ελάχιστο για υπομονετικούς

Re: Ελάχιστο για υπομονετικούς

Re: Ελάχιστο για υπομονετικούς

Re: Ελάχιστο για υπομονετικούς

Re: Ελάχιστο για υπομονετικούς