mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 13, 2021 10:35 pm**

Έστω $f:[0, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left ( \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 = 3 \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 13, 2021 10:47 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Οκτ 13, 2021 10:35 pm Έστω $f:[0, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left ( \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 = 3 \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x}$

.
Είναι απλό και γνωστό ότι αν a+b+c=0

, τότε

. Εδώ έχουμε ακριβώς μία τέτοια κατάσταση με

$\displaystyle{ a= \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x, \, b=\int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x,\, c= \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 13, 2021 10:48 pm**

Γειά σου Απόστολε

Θέτουμε $\displaystyle a = \int\limits_0^1 f (x)\,{\rm{d}}x,b = \int\limits_1^2 f (x)\,{\rm{d}}x,c = \int\limits_2^0 f (x)\,{\rm{d}}x$
Τότε : $\displaystyle a + b + c = 0$ , οπότε από την ταυτότητα Euler έπεται ότι $\displaystyle {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$

mathematica.gr

Ισότητα

Ισότητα

Re: Ισότητα

Re: Ισότητα