mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 28, 2021 1:24 pm**

Υπολογίστε το : $\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sqrt{1-cosx}}{x}+\sqrt{sinx}\right)$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 28, 2021 1:51 pm**

Γενικά
$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sqrt{1-cosx}}{x}+\sqrt{sinx}\right)=\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{|sinx|}{x\sqrt{1+cosx}}+\sqrt{sinx}\right)$

στην περιοχή που ορίζεται
$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sqrt{1-cosx}}{x}+\sqrt{sinx}\right)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{sinx}{x\sqrt{1+cosx}}+\sqrt{sinx}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 28, 2021 5:41 pm**

Και κάπως αλλιώς:

Koντά στο

, από τα δεξιά, είναι

$\displaystyle \frac{{\sqrt {1 - cosx} }}{x} + \sqrt {sinx} = \frac{{\sqrt {1 - 1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} }}{x} + \sqrt {\sin x} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sin \frac{x}{x}}}{{\frac{x}{2}}} + \sqrt {\sin x}$

οπότε $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {1 - cosx} }}{x} + \sqrt {sinx} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\mathop {\lim }\limits_{\frac{x}{2} \to {0^ + }} \cdot \frac{{\sin \frac{x}{x}}}{{\frac{x}{2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {\sin x} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 31, 2021 9:15 pm**

Το χ τεινει προς τα δεξια λογο του sinx αρα εχουμε :
$\frac{\sqrt{1-cosx}}{x}+\sqrt{sinx}=\sqrt{\frac{1-cosx}{x^{2}}}+\sqrt{sinx}\rightarrow \sqrt{\frac{1}{2}}+0=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1-cosx}{x^{2}}=\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^{2}}\cdot \frac{1}{cosx+1}=\frac{1-cos^{2}x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{cosx+1}=\frac{sin^{2}x}{x^{2}}\cdot \frac{1}{cosx+1}\rightarrow 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

mathematica.gr

Πονηρόριο

Πονηρόριο

Re: Πονηρόριο

Re: Πονηρόριο

Re: Πονηρόριο