mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 15, 2021 4:32 pm**

: Μία δύσκολη (;) καθετότητα 1.png (50.77 KiB) Προβλήθηκε 1244 φορές

Έστω τυχόντα σημεία των πλευρών τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι το δεύτερο (εκτός του ) σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle ADE$ με τον περίκυκλο $\left( O \right)$ του $\vartriangle ABC$ . Αν $F\equiv BE\cap CD$ και $T\equiv KF\cap \left( O \right),T\ne K$ να δειχτεί ότι $OL\bot DE$ όπου $L\equiv AT\cap BC$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 15, 2021 8:01 pm**

Μια πρώτη αντιμετώπιση με προβολική,

Σταθεροποιώ το σημείο

στην

και κουνάω το

στον κύκλο (ABC)

έτσι ώστε

.
Τότε αντιστρέφοντας με πόλο

και τυχαία δύναμη το $K\rightarrow K^*$ με το K^*

να κινείται σε σταθερή ευθεία (τον (ABC)^*

), και το

ορίζεται ως $D^*K^*\cap AC$ οπότε αφού η αντιστροφή διατηρεί τον διπλό λόγο και το D^*

σταθερό , έχω πως $K\rigtharrow E$ είναι προβολική απεικόνιση από κωνική σε ευθεία από το οποίο έπεται πως το

κινείται προβολικά με deg E=1

Επίσης ορίζω

την ευθεία που περνά από το

και είναι κάθετη στην

. Τότε $E\rightarrow DE\rightarrow l$ προβολικότητα , θέτω $L=l\cap BC$ και $AL\cap \odot(ABC)=L\neq A$ .
Η $E\rightarrow L$ είναι προβολική απεικόνιση από ευθεία σε ευθεία, έτσι deg L=1

, ενώ η $L\rightarrow AL\rightarrow AT$ από ευθεία σε κωνική άρα deg T=2

.
Πρέπει και αρκεί τώρα να δείξω ότι K,F,T

συνευθειακά. Αρκεί αυτό να ισχύει για τουλάχιστον deg K+ deg F+deg T+1=6

περιπτώσεις για το

.

: 43.PNG (39.87 KiB) Προβλήθηκε 1179 φορές

, τότε $DE\parallel BC$ και είναι απλό πως $F\in AL$ με διάμεσος στο .

, τότε $E=AC_{\infty}$ και έτσι το η τομή της μεσοκαθέτου της με και $BT\parallel AC$ κλπ

, τότε είναι απλό πως και $F\equiv C$ οπότε ok

$K=J=CD\cap \odot(ABC),J\neq C$ , τότε στο τρίγωνο η αντιπαράλληλη οπότε τελικά $T\equiv L \equiv C$ κλπ

τέτοιο ώστε ( για την εύρεση πάμε ανάποδα, δηλ παίρνουμε την τομή της κάθετης από το στην με την μεσοκάθετη της και κέντρο αυτή παίρνουμε κύκλο που περνά από κλπ). Τότε $D\equiv F$ και η τομή της μεσοκάθετης της με την , οπότε εύκολα ισοσκελές τραπέζιο και $\angle AKF=\angle BAC$ (χορδή εφαπτομένη) και $\angle BAC=\angle TBC=\angle AKT$ κλπ

: 44.PNG (36.64 KiB) Προβλήθηκε 1179 φορές

ώστε το αντιδιαμετρικό του (πάλι η κατασκευή του πάει ανάποδα). Τώρα αντιπαράλληλη και
εγγράψιμο, οπότε είναι σημείο Miquel του και τα υπόλοιπα γνωστή θεωρία (απλό κυνήγι γωνιών)

: 45.PNG (31.06 KiB) Προβλήθηκε 1179 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 20, 2021 1:26 am**

Ας δούμε άλλη μια στα γρήγορα.(δεν ξέρω αν χρειάζεται μετά από τα παραπάνω αλλά

).
Ας είναι $X\equiv KD\cap (ABC),Y\equiv KE\cap (ABC)$ και $A'\equiv BX\cap CY, B'\equiv CY\cap DE, C'\equiv BX\cap DE$ .
Εδώ έχουμε τέσσερις παρατηρήσεις: