mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 20, 2021 7:18 am**

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το τριπλάσιο της μιας οξείας γωνίας μαζί με το διπλάσιο της άλλης, έχουν άθροισμα $\displaystyle{240^0}$ ,

Αν Ε είναι το εμβαδόν και P η περίμετρος του τριγώνου, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{E}{P^2} =\frac{2\sqrt 3 - 3}{12}}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 20, 2021 10:07 am**

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Σάβ Νοέμ 20, 2021 7:18 am Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, το τριπλάσιο της μιας οξείας γωνίας μαζί με το διπλάσιο της άλλης, έχουν άθροισμα $\displaystyle{240^0}$ ,

Αν Ε είναι το εμβαδόν και P η περίμετρος του τριγώνου, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{E}{P^2} =\frac{2\sqrt 3 - 3}{12}}$

Αν

είναι οι οξείες γωνίες, τότε: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} B + C = 90^\circ \\ 3B + 2C = 240^\circ \end{array} \right.$ και λύνοντας το σύστημα $\displaystyle B = 60^\circ ,C = 30^\circ$

Είναι λοιπόν, $\displaystyle b = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},c = \frac{a}{2},$ οπότε $\boxed{E = \frac{{bc}}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}}$ και $\boxed{p = a\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{a}{2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}$

Άρα, $\displaystyle \dfrac{E}{{{p^2}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}}}{{\dfrac{{{a^2}}}{4}\left( {12 + 6\sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{12}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{E}{{{p^2}}} = \frac{{2\sqrt 3 - 3}}{{12}}}$

mathematica.gr

Σταθερός λόγος

Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος