mathematica.gr

Να αιτιολογηθεί αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής :
Κάθε υπεραριθμήσιμο και φραγμένο υποσύνολο του με στοιχεία άρρητους αριθμούς έχει, τουλάχιστον έναν, ρητό αριθμό ως σημείο συσσώρευσης.

grigkost έγραψε: Κυρ Νοέμ 21, 2021 9:22 am Να αιτιολογηθεί αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής :
Κάθε υπεραριθμήσιμο και φραγμένο υποσύνολο του με στοιχεία άρρητους αριθμούς έχει, τουλάχιστον έναν, ρητό αριθμό ως σημείο συσσώρευσης.

Η πλήρης λύση το βράδυ αν δεν με προλάβουν.

ΨΕΥΔΗΣ.

Ἔστω μία ἀπαρίθμηση τῶν ρητῶν καί


Τότε τὸ εἶναι κλειστό, περιέχει μόνο ἀρρήτους καὶ ἔχει ἄπειρο μέτρο Lebesgue, ἄρα εἶναι μὴ κενό.

Εὐκόλως κατασκευάζεται φραγμένο αὐτοῦ ὑποσύνολο μὲ θετικὸ μέτρο, καὶ ἄρα ὑπεραριθμήσιμο.