mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm**

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα ανάλυση. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

23. Ποιά είναι η τιμή του ορίου $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n} + \dfrac{3}{n^2} }{ \dfrac{1}{n}- \dfrac{2}{n^3} }}$ ; [2 μόρια]

24. Αν η παραγωγίσιμη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση f(x)

ικανοποιεί την σχέση f(x^3+x)=e^x

για όλους τους πραγματικούς

, ποιά η τιμή της $f^{\prime}(2)$ ; [3 μόρια]

25. Ποια η τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} a_{n}}$ , αν $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} (a_{2n-1} -a_{2n})=3}$ , $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} a_{n}^{2}=6}$ ,
όπου $\{ a_{n} \}$ γεωμετρική πρόοδος (άπειρη); [3 μόρια]

26. Ποια η τιμή του ορίου $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sum_{ k=1}^{n} \dfrac{k^2+2kn}{k^3+3k^2n+n^3}}$ ; [3 μόρια]

27. Το κινούμενο σημείο

του καρτεσιανού επιπέδου την χρονική στιγμή t (t>0)

είναι το μέσο του τμήματος που ορίζουν τα δυο σημεία τομής της καμπύλης y=x^2

με την ευθεία $y=t^2x-\dfrac{\ln t}{8}$ . Πόση απόσταση έχει διανύσει το σημείο

από την χρονική στιγμή t=1

έως την χρονική στιγμή t=e

; [3 μόρια]

28. Έστω συνάρτηση g(x)

με $g(x)=3f(x)+4\cos f(x)$ , όπου f(x)

η συνάρτηση $f(x)=6 \pi (x-1)^2$ . Ποιό είναι το πλήθος των σημείων

, με

στα οποία η g(x)

λαμβάνει ελάχιστη τιμή (τοπικά ελάχιστα); [4 μόρια]

29. Όπως φαίνεται στο σχήμα, δίνεται ένα ημικύκλιο διαμέτρου

μήκους

. Έστω

και

δυο σημεία του τόξου

με $\angle PAB= \theta$ , $\angle QBA=2 \theta$ και ας είναι

η τομή των τμημάτων AP, BQ

. Θεωρούμε σημείο

του τμήματος

, σημείο

του τμήματος

και σημείο

του τμήματος

, ώστε η ευθεία

να είναι παράλληλη προς την

και το τρίγωνο STU

ισόπλευρο. Θεωρώντας ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τμήματα AR, QR

και το τόξο

είναι $f(\theta)$ και το εμβαδόν του τριγώνου STU

είναι $g(\theta)$ , ισχύει

$\displaystyle{\lim_{\theta \to 0^{+}} \dfrac{g(\theta)}{\theta \cdot f(\theta)} = \dfrac{q}{p} \sqrt{3}}$ . Βρείτε την τιμή του αθροίσματος p+q

. (Όπου $0<\theta < \dfrac{\pi}{6}$ και

,

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]

: Screen Shot 2021-12-02 at 22.18.41.png (34.28 KiB) Προβλήθηκε 4220 φορές

30. Μια αύξουσα (γνησίως) και παραγωγίσιμη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συνάρτηση f(x)

ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

(Α) f(1)=1

, $\displaystyle{\quad \int_{1}^{2} f(x)dx =\dfrac{5}{4}}$

(Β) Αν g(x)

η αντίστροφη της f(x)

, για όλους τους πραγματικούς

με $x \geq 1$ είναι g(2x)=2f(x)

Αν $\displaystyle{\int_{1}^{8} xf^{\prime}(x)dx=\dfrac{q}{p}}$ , βρείτε την τιμή του αθροίσματος p+q

. (όπου

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.) [4 μόρια]

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 02, 2021 11:16 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm
23. Ποιά είναι η τιμή του ορίου $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n} + \dfrac{3}{n^2} }{ \dfrac{1}{n}- \dfrac{2}{n^3} }}$ ; [2 μόρια]

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n} + \dfrac{3}{n^2} }{ \dfrac{1}{n}- \dfrac{2}{n^3} }}= {\lim_{n \to \infty} \dfrac{5 + \dfrac{3}{n} }{ 1- \dfrac{2}{n^2} }}= \dfrac {5+0}{1-0}=5$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 02, 2021 11:30 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm
26. Ποια η τιμή του ορίου $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sum_{ k=1}^{n} \dfrac{k^2+2kn}{k^3+3k^2n+n^3}}$ ; [3 μόρια]

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sum_{ k=1}^{n} \dfrac{k^2+2kn}{k^3+3k^2n+n^3}}= \lim_{n \to \infty} \sum_{ k=1}^{n} \dfrac{\left (\dfrac {k}{n}\right )^2+2\dfrac {k}{n}}{\left (\dfrac {k}{n}\right ) ^3+3\left (\dfrac {k}{n}\right )^2+1}}\cdot \dfrac {1}{n} = \int _0^1\dfrac {x^2+2x}{x^3+3x^2+1} \,dx=$

$\displaystyle{=\dfrac {1}{3} \int _0^1\dfrac {(x^3+3x^2+1)'}{x^3+3x^2+1} \,dx= \dfrac {1}{3} \left [\ln |x^3+3x^2+1|\right ]_0^1= \dfrac {1}{3} \ln 5$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 03, 2021 8:24 am**

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm 24. Αν η παραγωγίσιμη σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς συνάρτηση ικανοποιεί την σχέση για όλους τους πραγματικούς , ποιά η τιμή της $f^{\prime}(2)$ ; [3 μόρια]

Παραγωγίζοντας έχουμε $\dfrac {d}{dx} f(x^3+x) = \dfrac {d}{dx} e^x$ , οπότε από τον κανόνα της άλυσίδας f'(x^3+x) (3x^2+1)= e^x

. Οπότε για x=1

παίρνουμε

, κ.λπ.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 03, 2021 8:50 am**

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm
25. Ποια η τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} a_{n}}$ , αν $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} (a_{2n-1} -a_{2n})=3}$ , $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} a_{n}^{2}=6}$ ,
όπου $\{ a_{n} \}$ γεωμετρική πρόοδος (άπειρη); [3 μόρια]

Aν η πρόοδος είναι η $a,\, ac,\, ac^2,\, ...$ , οι υποθέσεις γράφονται $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} a(c^{2n-2} -c^{2n-1})=3}$ και $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty}a^2 c^{2n-2}=6}$ , αντίστοιχα. Ισοδύναμα

$\displaystyle{a\sum_{ n=1}^{\infty} (1-c)(c^2)^{n-1} =3}$ και $\displaystyle{a^2\sum_{ n=1}^{\infty}(c^2)^{n-1}=6}$ , ή αλλιώς

$\displaystyle{\dfrac {a(1-c)}{1-c^2}=3}$ και $\displaystyle{ \dfrac { a^2}{1-c^2}=6}$ . Iσοδύναμα $\displaystyle{\dfrac {a}{1+c}=3}$ και $\displaystyle{ \dfrac { a^2}{(1-c)(1+c)}=6}$ που με διαίρεση κατά μέλη δίνει $\displaystyle{ \dfrac { a}{1-c}=2}$ .

To το τελευταίο δίνει την απάντηση αφού $\displaystyle{\sum_{ n=1}^{\infty} a_{n}}= \dfrac {a}{1-c}=2$ ,

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 15, 2023 12:19 am**

(30)

$g(2x) = 2f(x) \Rightarrow g(2) = 2f(1) = 2 \Rightarrow f(2) = 2$

$g(2x) = 2f(x) \Rightarrow g(4) = 2f(2) = 4 \Rightarrow f(4) = 4$

$g(2x) = 2f(x) \Rightarrow g(8) = 2f(4) = 8 \Rightarrow f(8) = 8$
Ακόμα

$\begin{array}{l} g(2x) = 2f(x) \Rightarrow \int\limits_1^2 {g(2x)dx} = 2\int\limits_1^2 {f(x)dx} \Rightarrow \\ \Rightarrow \int\limits_1^2 {g(2x)2dx} = 4\int\limits_1^2 {f(x)dx} = 4\left( {\frac{5}{4}} \right) = 5 \Rightarrow \int\limits_2^4 {g(u)du} = 5 \end{array}$

και

$\displaystyle \int\limits_2^4 {g(x)dx} + \int\limits_2^4 {f(x)dx} = 4f(4) - 2f(2) = 16 - 4 = 12 \Rightarrow \int\limits_2^4 {f(x)dx} = 12 - 5 = 7$

$\begin{array}{l} g(2x) = 2f(x) \Rightarrow \int\limits_2^4 {g(2x)dx} = 2\int\limits_2^4 {f(x)dx} \Rightarrow \\ \Rightarrow \int\limits_2^4 {g(2x)2dx} = 4\int\limits_2^4 {f(x)dx} = 4 \cdot 7 = 28 \Rightarrow \int\limits_4^8 {g(u)du} = 28 \end{array}$

$\displaystyle \int\limits_4^8 {g(x)dx} + \int\limits_4^8 {f(x)dx} = 8f(8) - 4f(4) = 64 - 16 = 48 \Rightarrow \int\limits_4^8 {f(x)dx} = 48 - 28 = 20$

τελικά

$\begin{array}{l} \int\limits_1^8 x {f^\prime }(x)dx = \left[ {xf(x)} \right]_1^8 - \int\limits_1^8 {f(x)dx} = 8f(8) - f(1) - \int\limits_1^8 {f(x)dx} = 63 - \int\limits_1^8 {f(x)dx} = \\ \\ = 63 - \left( {\int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^4 {f(x)dx} + \int\limits_4^8 {f(x)dx} } \right) = 63 - \left( {\frac{5}{4} + 7 + 20} \right) = \frac{{139}}{4} = \frac{p}{q} \Rightarrow p + q = 143 \end{array}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 15, 2023 3:22 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Πέμ Δεκ 02, 2021 10:52 pm 27. Το κινούμενο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου την χρονική στιγμή είναι το μέσο του τμήματος που ορίζουν τα δυο σημεία τομής της καμπύλης με την ευθεία $y=t^2x-\dfrac{\ln t}{8}$ . Πόση απόσταση έχει διανύσει το σημείο από την χρονική στιγμή έως την χρονική στιγμή ; [3 μόρια]

Ας ονομάσουμε M(x_M, y_M)

το σημείο που κινείται στο μέσο της χορδής η οποία ορίζεται από την ευθεία $y=t^2x-\dfrac{\ln t}{8} \quad \mathbf{(1)}$ και A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)

τα άκρα άκρα της χορδής πάνω στην y=x^2

, άρα

,

.

Αφού τα

,

ανήκουν στη χορδή ικανοποιούν την (1): $x_1^2=t^2x_1 - \frac{\ln t}{8} \Rightarrow x_1^2 - t^2x_1 + \frac{\ln t}{8} = 0$ $x_2^2=t^2x_2 - \frac{\ln t}{8} \Rightarrow x_2^2 - t^2x_2 + \frac{\ln t}{8} = 0$ Άρα τα x_1,x_2

είναι οι ρίζες της β'βάθμιας $x^2 - t^2x + \frac{\ln t}{8} = 0$ συνεπώς από τους τύπους Vieta παίρνουμε: $x_1 + x_2 = t^2 \quad \mathbf{(2)}$ $x_1x_2 = \frac{\ln t}{8} \quad \mathbf{(3)}$ Οι συντεταγμένες του μέσου M(x_M, y_M)

δίνονται από: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \stackrel{\text{(2)}}{=} \frac{t^2}{2} \quad \mathbf{(4)}$ $y_M = \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{2} \stackrel{\text{(2),(3)}}{=} \frac{t^4}{2} - \frac{\ln t}{8} \quad \mathbf{(5)}$ Άρα το

γράφεται παραμετρικά ως $M(\frac{t^2}{2}, \frac{t^4}{2} - \frac{\ln t}{8})$ .

Το μήκος

της καμπύλης που διαγράφει από τη στιμγή t=1

ως την

δίνεται από τον τύπο
$S = \int_1^e \sqrt{\left(\frac{dx_M}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy_M}{dt}\right)^2}\, dt \stackrel{\text{(4),(5)}}{=} \int_1^e \sqrt{\underbrace{t^2 + \left(2t^3 - \frac{1}{8t}\right)^2}_R}\, dt$ Για το υπόριζο

έχουμε
$R = t^2 + 4t^6 - \frac{t^2}{2} + \frac{1}{64t^2} \Rightarrow$ $64t^2R = 8^2t^4 + 8^24t^8 - \frac{8^2}{2}t^4 + 1 = \left((16t^4)^2 + 2\cdot16t^4 + 1 \right)^2 = (16t^4 + 1)^2$ $\therefore \; R = \frac{(16t^4+1)^2}{64t^2} \quad \mathbf{(6)}$ Τελικά από την (6) το ζητούμενο μήκος ισούται με:
$S = \int_1^e \frac{16t^4+1}{8t} \, dt = \int_1^e 2t^3 + \frac{1}{8t} \, dt = 2\left[\frac{t^4}{4} \right]_1^e + \frac{1}{8}\left[\ln t \right]_1^e = \boxed{\frac{e^4}{2} - \frac{3}{8}}$

mathematica.gr

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Ανάλυση)