mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm**

: Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 1170 φορές

Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι σημεία των πλευρών του αντίστοιχα , ώστε . Να δείξετε ότι αν είναι τα σημεία τομής των εκ των καθέτων επί την με την αντίστοιχα τότε το είναι το μέσο της

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 04, 2021 11:06 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι σημεία των πλευρών του αντίστοιχα , ώστε . Να δείξετε ότι αν είναι τα σημεία τομής των εκ των καθέτων επί την με την αντίστοιχα τότε το είναι το μέσο της

Εστω

Τότε οι γωνίες $\hat{ACS}=\hat{QAS}=\hat{ABE}=\varphi ,$

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα ASC,ABE

είναι ισα άρα AS=d

Ακόμη $DP//AQ//SC\Rightarrow MN=NT,PQ=QC$ τέλος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 04, 2021 11:12 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι σημεία των πλευρών του αντίστοιχα , ώστε . Να δείξετε ότι αν είναι τα σημεία τομής των εκ των καθέτων επί την με την αντίστοιχα τότε το είναι το μέσο της

$\triangle DHB= \triangle ZEC \Rightarrow ZC = BH\Rightarrow \triangle AZC= \triangle ABH \Rightarrow AZ=AH \Rightarrow HK=KZ$

Άρα PQ=QC

αφού

τραπέζιο

: ισότητα από ισότητα...png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 1137 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 05, 2021 3:45 pm**

Έστω

η τομή της

με την κάθετο επί της

στο

. Το $\triangle KBC$ είναι προφανώς ορθογώνιο ισοσκελές,
και έστω

,

τα σημεία τομής των

,

με τον περιγεγραμμένο κύκλο (c)

.
Για να δειχθεί ότι PQ=QC

υπολείπεται να δειχθεί ότι η κάθετος από το

στην

διέρχεται από το

. και πράγματι

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} BK' \perp BC \ \& \ \ K'H \perp BE & \rightarrow B\widehat{K'}G = B\widehat{L}G \cr B, G, K, L\ \ \in \ \ (c) & \rightarrow B\widehat{K}G = B\widehat{L}G \cr \end{aligned} \right \} \rightarrow B\widehat{K'}G = B\widehat{K}G }$

δηλαδή τα

,

ταυτίζονται, και είναι τότε

$\displaystyle{ {AK \over AC} = {PQ \over QC} = 1 }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 05, 2021 6:58 pm**

: KOYTRAS.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 1062 φορές

Αρκεί : $SD \perp BE$ , το οποίο προκύπτει από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων SAD , BAE

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 05, 2021 7:26 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Σάβ Δεκ 04, 2021 5:42 pm Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png
Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι σημεία των πλευρών του αντίστοιχα , ώστε . Να δείξετε ότι αν είναι τα σημεία τομής των εκ των καθέτων επί την με την αντίστοιχα τότε το είναι το μέσο της

: Ισότητα από ορθογώνιο ισοσκελές.png (12.84 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

Αν η κάθετη στο

επί την

τέμνει την

στο

τότε προφανώς το $\vartriangle EDF$ είναι ορθογώνιο ισοσκελές και με $EA\bot DE$ το

είναι το μέσο της

. Επειδή $CA\bot BF,FE\overset{DE\parallel BC}{\mathop{\bot }}\,BC$ , το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle FBC\Rightarrow CF\bot BE\Rightarrow CF\parallel AQ\parallel DP$ οπότε από το τραπέζιο πλέον DFCP

με

το μέσον της

θα είναι και

το μέσο της

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 06, 2021 6:38 pm**

Μια απόδειξη με τη βοήθεια γωνιών....

: Isotita se orthogonio isoskeles 1.png (48.97 KiB) Προβλήθηκε 1008 φορές

... Εύκολα δείχνουμε ότι $\displaystyle{M}$ μέσο της $\displaystyle{CD}$ και εφόσον $\displaystyle{MQ{//}DP}$ θα πρέπει $\displaystyle{Q}$ μέσο του $\displaystyle{CP}$ .

mathematica.gr

Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές

Re: Ισότητα από ισότητα σε Ορθογώνιο Ισοσκελές