mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 04, 2021 7:02 pm**

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω γραμμικὸς ὑπόχωρος τοῦ πεπερασμένης διαστάσεως καὶ $\{f_n\}\subset C[a,b]$ . Ἄν ἡ ἀκολουθία $\{f_n\}$ συγκλίνει κατὰ σημεῖον, τότε συγκλίνει καὶ ὁμοιόμορφα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 06, 2021 10:00 am**

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Σάβ Δεκ 04, 2021 7:02 pm ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω γραμμικὸς ὑπόχωρος τοῦ πεπερασμένης διαστάσεως καὶ $\{f_n\}\subset C[a,b]$ . Ἄν ἡ ἀκολουθία $\{f_n\}$ συγκλίνει κατὰ σημεῖον, τότε συγκλίνει καὶ ὁμοιόμορφα.

Νομίζω ότι υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση.
Θα έπρεπε να είναι

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω γραμμικὸς ὑπόχωρος τοῦ πεπερασμένης διαστάσεως καὶ $\{f_n\}\subset X$ . Ἄν ἡ ἀκολουθία $\{f_n\}$ συγκλίνει κατὰ σημεῖον, τότε συγκλίνει καὶ ὁμοιόμορφα.

Εστω $g_{i}(x):i=1,2,..,k$
μια βάση του

Θα είναι $f_{n}(x)=\sum_{i=1}^{k}a_{i}(n)g_i(x)$
Χρειαζόμαστε το εξής:
Υπάρχουν x_j,j=1,2,...k

στο

ώστε $det(g_i(x_j))\neq 0$
(απόδειξη στο τέλος)
Θεωρώντας τις σχέσεις
$f_{n}(x_j)=\sum_{i=1}^{k}a_{i}(n)g_i(x_j)$
σαν γραμμικό σύστημα με αγνώστους τα $a_{i}(n)$ για σταθερό

παίρνουμε ότι για i=1,2,...k

$a_{i}(n)\rightarrow a_i$
Ετσι
$f_{n}(x)-\sum_{i=1}^{k}a_{i}g_i(x)=\sum_{i=1}^{k}(a_{i}(n)-a_i)g_i(x)$
που εύκολα μας δίνει την ομοιόμορφη σύγκλιση.
(αυτό που χρειαζόμαστε είναι ότι τα $sup \left \{ |g_i(x)|:x\in [a,b] \right \}$
είναι πεπερασμένα)

Απόδειξη αυτού που αφήσαμε.
Για k=2